Угол между плоскостями. Метод координант.
В этой статье я расскажу, как решать задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат.
Сначала немного теории.
Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов.
Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:
Пусть наши плоскости 
и 
заданы уравнениями:
: 
: 
Косинус угла 
между плоскостями находится по такой формуле:
В ответе мы записываем 
, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.
Решим задачу, которая была предложена на пробнике для подготовке к ЕГЭ 17 марта 2012 года.
В правильной четырехугольной призме 
со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре 
взята точка М так, что 
. На ребре 
взята точка K так, что 
. Найдите угол между плоскостью 
и плоскостью 
.
Сделаем чертеж. Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему координат:
Теперь перед нами стоит задача написать уравнения плоскости и плоскости 
Подробный алгоритм нахождения уравнения плоскости по трем точкам я описывала здесь.
После того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости 
и плоскости , подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол.
Предлагаю вам посмотреть подробное видеорешение этой задачи:
КУПИТЬ видеокурс "Векторы и координаты. Часть В и Задание 14"
Вспомнила школу, была отличницей
Инна,показала Ваш урок своим ученикам-приняли метод координат на «ура», никаких мучений с построением угла между плоскостями.Мало часов на геометрию в школе, можно было бы многому научить ребят.Огромное спасибо.Сейчас использую на своих уроках только Ваши видеоуроки.
Замечательный урок! Инна, скажите пожалуйста, есть ли задачи, для решения которых метод координат не очень удобен. Иногда тяжело выбрать эту систему координат. Ведь это зависит еще от того, о каком многограннике идет речь.
Да, иногда гораздо удобнее решать геометрическим методом, особенно в случае пирамиды, и особенно если в основании не прямоугольник.
Инна,здравствуйте! Подскажите пожалуйста, можно ли в формуле косинуса угла между плоскостями в числителе сразу ставить знак модуля.Считается ли это ошибкой?
Да, разумеется, можно. Но не путать с заданием, где нужно найти косинус двугранного угла — двугранный угол может быть тупым.
Я как раз хотела спросить у вас о двугранном угле!А как же быть в этом случае? Получается, модуль не ставится?И ответ может быть как положительный,так и отрицательный?
Да, в случае двугранного угла косинус может быть отрицательным.
Спасибо за помощь)Все понятно.Я вот только уточнить хотела:в случае двугранного угла модуль опускается?