Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
11 Апр 2012
08 Задание (2022)ВИДЕОУРОКИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Задачи на работу делятся на два типа:

  • задачи, в которых  выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
  • задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.

В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

  • объем работы,
  • время,
  • производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы=производительность * время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.

3. Вводим два неизвестных:

х - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Тогда

1/x - производительность кого-то (или чего-то) первого

1/y - производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна 1/x+1/y

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание 11 (№ 99617)

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна 1/20.

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна 1/x.

Тогда совместная производительность равна 1/x+1/20

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

(1/x+1/20 )*12=1

Решим его:

{12}/x+{12}/20=1

240+12x=20x

8x=240

x=30

Ответ: 30

2. Классическая задача на совместную работу:

Задание 11 (№ 99619)

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

Пусть

х - время заполнения резервуара первой трубой

y - время заполнения резервуара второй трубой

1/x - производительность первой трубы

1/y - производительность второй трубы

1/x+1/y - совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

x=y+6

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

(1/x+1/y)4=1

Получили систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=y+6} {(1/x+1/y)4=1} }}{ }

(1/{y+6}+1/y)4=1

4/{y+6}+4/y=1

4y+4(y+6)=y(y+6)

y^2-2y-24=0

y_1=6,  y_2=-4 - не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 6

3. Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:

Задание 11 (№ 99616)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?



4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение задач на совместную работу. Задание 11
| Отзывов (107) | Метки:

Отзывов (107)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Катя
    в 04:26

    Подскажите пожалуйста как решить эту задачу: 30 рабочих проработали 6 часов а 20 рабочих сколько проработали? 4 часа?
    Ответить
    • Инна
      в 08:29

      30*6=180 — объем работы
      180/20=9 — время работы 20-ти рабочих
      Ответить
  2. Александр
    в 15:14

    Помогите решить пожалуйста. 10*2^n/2^n+1+2^n-1
    Ответить
    • Инна
      в 15:32

      В знаменателе вынести за скобки 2^(n-1), получится 2^(n-1)(2^2+1)=5*2^(n-1)
      Потом сократить одинаковые множители. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.
      Ответить
  3. Александр
    в 15:15

    Задание сократите дробь никак не могу решить
    Ответить
  4. Анастасия
    в 15:50

    Здравствуйте,Инна!не могли бы помочь разобраться с задачей?
    Первый трактор начал пахать поле. Через 2 ч к нему присоединился второй, и после
    8 ч совместной работы они вспахали 80% поля. За сколько часов мог вспахать поле
    первый трактор, если известно, что ему на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем
    второму?
    Ответить
    • Инна
      в 15:58

      Объем работы принимаем равным 1.
      Пусть х — время, за которое второй трактор вспашет все поле, тогда его производительность равна 1/x.
      Тогда х+5 — время, за которое первый трактор вспашет все поле, тогда его производительность равна 1/(x+5).
      Совместная производительность равна 1/x+1/(x+5)
      Получаем уравнение:
      2*(1/x)+8(1/x+1/(x+5))=0,8
      Ответить
  5. Лиза
    в 18:18

    одна труба наполняет бассейн за 6 часов,а другая-4часа . За сколько часов наполняют бассейн обе трубы , работая вместе?
    Ответить
    • Инна
      в 10:47

      Пусть объем бассейна =1. Тогда первая труба наполняет со скоростью 1/6, а вторая 1/4, обе со скоростью (1/6+1/4). Тогда обе трубы , работая вместе заполнят за 1/(1/6+1/4) часов.
      Ответить
  6. Галина
    в 08:47

    Помогите пожалуйста решить задачу. Никак не могу разобраться. Две машинистки работая одновременно с одинаковой производительностью, перепечатывают рукопись за 3 часа. За сколько времени машинистки перепечатают рукопись, если одна из них увеличит свою производительность на 40%
    Ответить
    • Инна
      в 10:51

      Пусть х — производительность обеих машинисток.
      Тогда 1,4х — производительность одной из машинисток после увеличения на 40%
      Объем работы принимаем равным 1.
      Получаем: (1/х+1/х)*3=1
      Отсюда х=6; 1,4х=8,4
      получаем второе уравнение:
      (1/6+1/8,4)*t=1
      Ответить
  7. Эльвина
    в 17:32

    Спасибо огромное! Все получилось!
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *