Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
11 Апр 2012
08 Задание (2022)ВИДЕОУРОКИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Решение задач на совместную работу. Задание 11

Задачи на работу делятся на два типа:

  • задачи, в которых  выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
  • задачи на совместную работу.

Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.

В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.

1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:

  • объем работы,
  • время,
  • производительность,

которые связаны между собой формулой:

объем работы=производительность * время.

2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.

3. Вводим два неизвестных:

х - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) первым

y - время выполнения всей работы кем-то (или  чем-то) вторым.

(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)

Тогда

1/x - производительность кого-то (или чего-то) первого

1/y - производительность кого-то (или чего-то) первого

И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность

совместная производительность равна 1/x+1/y

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

1. Задание 11 (№ 99617)

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна 1/20.

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна 1/x.

Тогда совместная производительность равна 1/x+1/20

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

(1/x+1/20 )*12=1

Решим его:

{12}/x+{12}/20=1

240+12x=20x

8x=240

x=30

Ответ: 30

2. Классическая задача на совместную работу:

Задание 11 (№ 99619)

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

Пусть

х - время заполнения резервуара первой трубой

y - время заполнения резервуара второй трубой

1/x - производительность первой трубы

1/y - производительность второй трубы

1/x+1/y - совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

x=y+6

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

(1/x+1/y)4=1

Получили систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=y+6} {(1/x+1/y)4=1} }}{ }

(1/{y+6}+1/y)4=1

4/{y+6}+4/y=1

4y+4(y+6)=y(y+6)

y^2-2y-24=0

y_1=6,  y_2=-4 - не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 6

3. Предлагаю вам посмотреть  ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:

Задание 11 (№ 99616)

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?



4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?

 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение задач на совместную работу. Задание 11
| Отзывов (107) | Метки:

Отзывов (107)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Никита
    в 19:23

    спасибо за такую хорошую информацию очень помогли
    Ответить
  2. Миша
    в 15:20

    Помогите пожалуйста
    Ответить
    • Миша
      в 15:26

      Мастер и ученик должны были выполнить работу к определенному сроку.однако,когда была выполнена половина работы,ученик заболел,и мастер закончил работу с опозданием на два дня.за сколько дней каждый из них закончит работу самостоятельно,если мастеру на это потребовалась бы на 5 дней меньше времени чем ученику?
      Ответить
      • Инна
        в 10:16

        Пусть объем работы равен 1.
        Пусть время, за которое ученик выполнит работу равно х, тогда его производительность равна 1/x
        Пусть время, за которое мастер выполнит работу равно у, тогда его производительность равна 1/у
        Совместная производительность: 1/x+1/y
        Время совместной работы: 1/(1/x+1/y)=xy/(x+y)
        Первое уравнение: х-5=у
        Второе уравнение: когда была выполнена половина работы,ученик заболел,и мастер закончил работу с опозданием на два дня
        y/2=(1/2)*xy/(x+y)+2
        Решаем полученную систему
        Ответить
  3. Расстегаева Екатерина
    в 17:02

    Помогите решить задачу. Одному рабочему для выполнения производственного задания требуется на 4 часа меньше, чем другому. Первый рабочий проработал 4 часа, а потом его сменил второй. После того, как второй рабочий проработал 4 часа, оказалось, выполнено 5/6 задания. За сколько часов может выполнить это задание каждый из рабочих, работая самостоятельно?
    Ответить
    • Инна
      в 11:46

      Пусть объем работы равен 1. Пусть первому рабочему требуется х часов для выполнения задания, тогда второму требуется х+4 часа.
      Тогда производит. первого равна 1/х, а второго 1/(х+4)
      Получаем уравнение: 4*{1/x}+4*{1/{x+4}}=5/6
      Ответить
  4. люда
    в 16:56

    Помогите решить пожалуйсто без уравнений. Мастер выполняет задание за 12 1/2ч а ученик 3/100 работы за 1 1/2ч Сколько время они будут выполнять задание если будут работатььвместе?
    Ответить
    • Инна
      в 17:05

      12 1/2=25/2
      Пусть объем работы равен 1
      Производительность мастера 1/(25/2 )=2/25
      Производительность ученика (3/100)/(3/2)=1/50
      совместная произв.=2/25+1/50=5/50=1/10
      они вместе выполнят все задание за 1/(1/0)=10 часов
      Ответить
  5. люда
    в 18:35

    Бассейн наполняется через две трубы. Сначало открыли первую и когда он наполнился на половину через 2 ч 15 мин. Открыли вторую. Через 1 1/2 ч совместной работы бассейн наполнился. Какая вместимость бассейна если через вторую трубу выливалось за час 36000л?
    Ответить
  6. Ксения
    в 16:26

    Здравствуйте.Помогите пожалусйта решить задачу:
    Игорь и Паша красят забор за 10 часов.Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов,а Володя и Игорь за 15 часов.За сколько часов мальчики покрасят забор,работая втроём?
    Ответить
  7. Виктория
    в 12:17

    Здравствуйте. Пожалуйста, помогите решить задачу для 4 класса:
    Одна бригада рабочих может построить 15 км шоссейной дороги за 30 дней, а другая — за 45 дней. За сколько дней могут построить эту дороги обе бригады?
    Я начала с того, что перевела км в м и получила, что производительность первой бригады — 500м в день.
    А вот со второй бригадой — так не получается, т.к. 15000 на 45 без остатка не делится. Дети не знают десятичных дробей. Может эта задача решается как-то по-другому?
    Ответить
    • Виктория
      в 13:24

      Посмотрите, пожалуйста, вот такое решение у меня получилось:
      1) 15:30=1/2 (км/д) — производительность первой бригады

      2) 15:45=1/3 (км/д) — производительность второй бригады

      3)1/2+1/3=5/6 (км/д) — совместная производительность

      4)5/6 * 15 = 75/6=12 1/2 (д) — займет совместная работа
      Ответить
    • Инна
      в 13:56

      А обыкновенные одни знают?
      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *