Решение задач на совместную работу. Задание 11
Задачи на работу делятся на два типа:
- задачи, в которых выполняется раздельная работа - эти задачи решаются аналогично задачам на движение.
- задачи на совместную работу.
Если в задаче встречаются слова "выполнили работу вместе" или слова "совместная работа", значит это задача на совместную работу.
В этой статье я подробно остановлюсь на алгоритме решения задач на совместную работу.
1. В задачах на совместную работу мы имеем дело с теми же тремя параметрами, что и в задачах на раздельную работу:
- объем работы,
- время,
- производительность,
которые связаны между собой формулой:
объем работы=производительность 
время.
2. Объем работы, если он не указан отдельно, принимаем равным 1.
3. Вводим два неизвестных:
х - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) первым
y - время выполнения всей работы кем-то (или чем-то) вторым.
(В некоторых задачах "выгоднее" принять за неизвестные производительность)
Тогда
- производительность кого-то (или чего-то) первого
- производительность кого-то (или чего-то) первого
И в этом месте появляется параметр, которого не было в задачах на раздельную работу, а именно - совместная производительность
совместная производительность равна 
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание 11 (№ 99617)
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Про Машу нам все известно: время её работы равно 20, следовательно, её производительность равна 
.
Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда её производительность равна .
Тогда совместная производительность равна 
Объем работы примем равным 1.
Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:
Решим его:
Ответ: 30
2. Классическая задача на совместную работу:
Задание 11 (№ 99619)
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
1. Введем неизвестные:
Пусть
х - время заполнения резервуара первой трубой
y - время заполнения резервуара второй трубой
- производительность первой трубы
- производительность второй трубы
- совместная производительность
2. Примем объем резервуара равным 1.
3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.
По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:
Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:
Получили систему уравнений:
, 
- не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 6
3. Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я показываю решение такой задачи:
Задание 11 (№ 99616)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
4. И, наконец, видеорешение такой задачи:
Три экскаватора разной производительности роют котлован. Работа будет выполнена, если каждый проработает 12 часов. Она также будет выполнена, если первый проработает 8 часов, второй 16, а третий 10. Сколько часов должен проработать второй экскаватор, чтобы завершить работу, если до него первый проработал 10 часов, а третий - 11?
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Помогите пожалуйста
Для наполнения водного бассейна устроено два водопроводных крана, из которых первый, действуя один,мог бы наполнить бассейн за 4 часа 30 минут, а второй за 6 часов 45 минут. Сначала был открыт только первый кран на то время, в течении которого оба крана могли бы наполнить весь бассейн. После этого не закрывая первый кран, открыли второй кран. Через сколько времени после открытия второго крана наполнился бассейн?
Помогите пожалуйста
Для наполнения водного бассейна устроено два водопроводных крана, из которых первый, действуя один,мог бы наполнить бассейн за 4 часа 30 минут, а второй за 6 часов 45 минут. Сначала был открыт только первый кран на то время, в течении которого оба крана могли бы наполнить весь бассейн. После этого не закрывая первый кран, открыли второй кран. Через сколько времени после открытия второго крана наполнился бассейн?
4 часа 30 минут=9/2 часа
6 часов 45 минут=27/4 часа
Пусть объем бассейна равен 1
Тогда
Производительность 1-го крана 1:(9/2)=2/9
Производительность 2-го крана 1:(27/4)=4/27
Совместная производительность 2/9+4/27=10/27
Время совместной работы 27/10=2,7
Пусть бассейн заполнился через t минут, получаем уравнение
2/9 *2,7+10/27*t=1
А, Б и В имеют каждый своё задание. А выполнит задание Б за 10 ч, Б выполнит задание В за 15 ч, В выполнит задание А за 20 ч, а при совместной работе они выполнят все три задания за 15 ч. Во сколько раз задание А больше, чем задание Б?
Инна пожалуйста!
Заранее спасибо!
Пусть производительность А равна х, и его задание равно А
Пусть производительность Б равна у, и его задание равно Б
Пусть производительность B равна z, и его задание равно B
Получаем: 10х=Б; 15у=В; 20z=A
И: (х+у+z)15=А+Б+В
Сложим первые три уравнения: 10х+15у+20z=A+Б+В
Тогда (х+у+z)15=10х+15у+20z
Нужно найти A/Б=20z/10x
Плавательный бассейн наполнился двумя трубами за 48 минут, если открыть сразу две трубы. Через одну трубу бассейн может наполниться за 2 часа. Найти объем бассейна, если известно, что за 1 минуту через вторую трубу поступает воды на 5о куб. м воды больше, чем через первую
Пусть х куб.м/мин — производительность первой трубы, у куб.м/мин — производительность второй трубы.
х+у — совместная производительность.
V — объем бассейна
Получаем систему
Ничего более бездарного я не видел в своей жизни! Господа, учитесь видеть! Математика — это формализавонная логика, а не сборник формул и «методов». 4-я задача решается в одну строчку! Складываете 1 и 2 иравнения и делите на 2. После этого у×t сразу равно 14×у, откуда ответ следует автоматически. По остальным примерам то же самое, рука набита, логики 0. Мой сын дошкольник в 6 лет и тот лучше решил эту задачу… Позор…
Alvar, было бы прекрасно, если бы вы привели здесь ваши решения.
А вот Вы попробуйте решить 4-ю задачу с условием, что 3-й эксковатор проработал не 11 часов, а например 9 :). А я вам потом обьясню почему так получается и как это решить из первых ринципов без «методов»…
Объясняйте!!! Не получилось(
У Вас есть система линейных уравнений в которой неизвестных больше чем самих уравнений, Вам надо найти только один коэфициент в одном уравнении при одной переменной. Очевидно, что это возможно ТОЛЬКО если вы из оставшихся уравнений сможите составить комбинацию, дающую вам такое же уравнение как и то, в котором находится искомый коэфициент, только тогда ненужные переменные уйдут. Грамотным языком — получившаяся система должна быть линейно зависимой, умные слова в данном случае не важны. А важно понять, что чтобы найти нужный коэфициент, надо скомбинировать оставшиеся уравнения так, чтобы получить выбранное, откуда и определится искомый коэфициент. В случае 4-й задачи, выколи глаз очевидно что 3е уравнение — это (1е+2е)/2. Отсюда и t*y=14*y. В большинстве случаев школьных задач подобная линейная комбинация находится устно. Но если уж совсем ступор, то можно записать уравнение вида a1*1+a2*2+…an*n=n+1, где буквами обозначены неизвестные коэфициенты, а числами номера уравнений. Тогда из равенства коэфициентов при соответствующих переменных вы найдете на что надо домножить каждое из уравнений чтобы получить выбранное. Теперт ответ на вопрос почему изменив условие как я написал решение не находится — система уравнений перестала быть линейно зависимой, т.е. нет такой комбинации первых двух уравнений, чтобы получить третье. Значит никаким образом вы не сможите избавиться от всех ненужных переменных и найти искомый коэфициент. При таком условии данных для решения задачи уже не достаточно. Вы должны понимать, что авторы задачи изначально подогнали условие так, чтобы система получалась линейно зависимой, вот и все. Логика решения состоит в нахождении комбинации первых двух уравнений для получения третьего, а не в осуществлении непонятно для чего нужных преобразований не имеющих сути. Как я писал, из логики происходящего задача решается в одну строчку и полностью понятно на каждом шаге. Мой 6-ти летний сын сделал это за 3 минуты. Сюда я зашел только за задачами для него, сейчас я учу его решать текстовые задачи и просто нашел этот портал в поисковике.
Большое спасибо за разъяснение. Думаю, что оно многим пригодится.
Но это не исключает предложенное мною решение: если система линейно зависима, то можно выразить одно неизвестное через два других, а потом сократить на это неизвестное. Такие случаи часто встречаются при составлении уравнения плоскости, или уравнения прямой. Но ваше, конечно, короче)))
Ваш шестилетний сын умеет составлять системы из трех уравнений?
Вы делая «манипуляции» не понимаете смысла. Нет никакого «Вашего» решения. То что Вы сделали: Шаг1-линейное преобразование системы оставляющее ее линейно зависимой (изменился вид 3го уравнения), шаг2-поиск линейной комбинации уравнений 1 и 2 дающей новое уравнение 3 (то о чем я писал как о решении). Надо понимать, что логика задачи одна, и если вы хотите ее решить вы должны ей следовать. Это и есть математика. Короче, запомните одно, нет ни методов, ни формул, ни шаблонов, есть только задачи и опыт предыдущих поколений. Делать нужно только то, что требует логика задачи для получения результата, использование опыта предыдущих поколений допускается. Я Вам написал почему именно задача разрешима в исходном виде и как это сделать, а Вы даже не поняли что сделали это же, только, как я выразился в первый раз «бездарно». Никчему там переход к новому виду, ничего он не дает, а только усложняет. Про сына: да, в 6 лет он и записывает для задач и решает любые линейные системы уравнений, и это, пожалуй самое простое что он делал в последнее время, мне жена приказала его «разгрузить». Вы, как и все учителя в школах, просто не правильно к этому подходите, поэтому для Ваших учеников нет ничего страшнее текстовой задачи. Вот решить уравнение — пожалуйста, «мы таких на уроках сотню перекинули», а решить задачу — ступор, кто, куда, зачем… Короче, вы учите методам и распознованию шаблонов, а надо учить думать. Посмотрите свои видеоуроки и ответьте на простой вопрос: откуда вы знаете свои неизвестные и сколько их будет если вы еще не написали уравнений?
Alvar, вы очень горячитесь) Я прекрасно поняла, что я сделала. Мне просто хотелось, чтобы вы это написали сами)
Отвечу на ваш последний вопрос: я ввожу столько неизвестных, сколько мне нужно, а потом смотрю, как они связаны между собой. Лично мне проще произвести действия руками, чтобы видеть, что я делаю. Потом становится видна взаимосвязь, и часто становится понятно, что все можно было сделать гораздо проще. Я знаю, что не всегда решаю оптимальным способом, поэтому еще раз спасибо за ваше замечание.
Я согласна с вами, что по большому счету есть задачи и опыт предыдущих поколений. Опыт предыдущих поколений формулируется в виде шаблонов и правил, это первая ступень его освоения. Но опыта предыдущих поколений не существует, пока он не пропущен через собственный опыт. И пока собственный опыт не осмыслен. Последнее особенно важно и особенно редко.
И поэтому для большинства опыт предыдущих поколений дается в виде шаблонов и методов их распознавания. Те же десять заповедей — это шаблоны. Они не нужны тем, кто умеет думать и видит суть. Но таких очень немного — большинству нужны «костыли», которые выражаются в виде алгоритмов поведения в тех или иных случаях. Я согласна с вами, что в школе не учат думать, а учат следовать правилам. В широком смысле. Дети умеют решать уравнения, но не могут сформулировать зачем они делают те или иные действия при решении задач. Только манипулируют числами, зачастую не понимая, какой в них физический смысл. Они даже не могут ответить на вопрос, что он делают в данный момент. Про геометрические задачи я вообще молчу.
Но научить думать чрезвычайно трудно — это индивидуальная кропотливая работа, она практически невозможна в общеобразовательной школе, и, создавая этот сайт, я не ставила такую задачу. По большому счету, это задача родителей, если они сами таким умением обладают. Я рада, что у вас получается)
Помогите пожалуйста
Оксана делает некоторую работу за 7 часов, Марина за 6 часов, а Борис Викторович за 3 часа. После того, как Оксана сделала половину всей работы, к ней присоединились Марина и Борис Викторович. За какое время была сделана вся работа и какую ее часть сделала Марина?
Пусть объем работы равен 1.
Производительность Оксаны равна 1/7
Производительность Марины равна 1/6
Производительность БВ равна 1/3
Получаем уравнение:
1/2+(1/6+1/3)t=1
Часть работы, которую сделала Марина: 1/6*t
А, Б и В имеют каждый своё задание. А выполнит задание Б за 10 ч, Б выполнит задание В за 15 ч, В выполнит задание А за 20 ч, а при совместной работе они выполнят все три задания за 15 ч. Во сколько раз задание А больше, чем задание Б?
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Инна к чему составлять систему из двух уравнений ?
x — это время за которое 2 труба наполнит резервуар. x+6 время за которое 1 труба наполнит резервуар. Обе они заполнят за 4 мин.
т.е. прозиводительность 1-ой трубы 1/x+6, производительность 2-ой
трубы 1/6, получаем уравнение с одним неизвестным.
1/x+6 +1/x = 1/4 отсюда получим квадратное уравнение
x^2 — 2x — 24 = 0
D = 100
x1= 6, x2 = -4
т.е. первая труба наполнит резервуар за 12 минут, а втора за 6
Это практически то же самое, только вы одно неизвестное выразили через другое в уме)