Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-05-04

Главная » СТАТЬИ » ПЛАНИМЕТРИЯ » Все, что нужно знать о треугольнике

04 Май 2012

ПЛАНИМЕТРИЯ

Все, что нужно знать о треугольнике

При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
Нанести все данные из условия задачи на чертеж
Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

Итак.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. $S={1/2}{a}{h_a}$ ,

здесь - произвольная сторона треугольника, h_a - высота, опущенная на эту сторону.

2. S={1/2}{a}{b}sin{gamma} ,

здесь и - произвольные стороны треугольника, gamma - угол между этими сторонами:

3. Формула Герона:

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

- здесь {a},{b},{c} - длины сторон треугольника, - полупериметр треугольника, p={a+b+c}/2

4. S={p}{r} ,

здесь - полупериметр треугольника, - радиус вписанной окружности.

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - длины отрезков касательных.

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5. S=sqrt{{xyz}{(x+y+z)}}

6. S={{a}{b}{c}}/{4R} ,

здесь {a},{b},{c} - длины сторон треугольника, - радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

${S_1}/{S_2}=m/n$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

$m_a={1/2}sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ ,

здесь m_a - медиана, проведенная к стороне , {a},{b},{c} - длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

- это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

{BD}/{DC}={AB}/{AC}

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

- это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

$h_b={2S}/b$

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

R={{a}{b}{c}}/{4S}

- здесь {a},{b},{c} - длины сторон треугольника, - площадь треугольника.

R={a}/{2sin{alpha}} ,

где - длина стороны треугольника, {alpha} - противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

a+b>c

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если a<b<c , то {alpha}<{beta}<{gamma} и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

{a}/{sin{alpha}}={b}/{sin{beta}}={c}/{sin{gamma}}=2R

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2{c}{b}cos{alpha}$

Прямоугольный треугольник

- это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза - это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c^2=a^2+b^2

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

r= {a+b-c}/2 ,

здесь - радиус вписанной окружности, {a},{b} - катеты, - гипотенуза:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

R=c/2

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

${h_c}^2={a_c}{b_c}$

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

$a^2={c}{}{a_c}$

$b^2={c}{}{b_c}$

${h_c}={ab}/c$ :

Катет, лежащий против угла $30^{circ}$ равен половине гипотенузы:

BC=2AC

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

- угол при вершине.

и - боковые стороны, AB=BC

и - углы при основании. A =B

- высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник) - это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

$S={a^2{sqrt{3}}}/4$ ,

где - длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

- это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE - средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Внешний угол треугольника

- это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Тригонометрические функции внешнего угла:

Признаки равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник ABC , причем C_1 – точка ее пересечения со стороной , A_1 – точка ее пересечения со стороной , и B_1 – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

${{AC_1}/{C_1 {B}}}*{{BA_1}/{A_1 {C}}}*{{CB_1}/{B_1 {A}}}=1$

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (98)

Отзывов (98)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Марина

2015-09-18 в 14:41

Здравствуйте Инна Владимировна! Никак не могу решить задачу:
В равнобедренном треугольнике KLM проведена медиана к основанию LL1 и биссектриса KK1. Найдите угол KLM, если KK1=2LL1
Понятно, что медиана здесь является и биссектрисой и что пересечение KK1 и LL1- центр вписанной окружности. Еще понятно, что LK1/K1M как KL/KM, но всё равно задачу не решить (

Ответить
- Инна
  
  2015-09-22 в 06:12
  
  Если еще не поздно: http://prntscr.com/8j3f2p
  
  Ответить
Елена

2015-10-09 в 08:19

Здравствуйте, прошу Вашей помощи. Как найти угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, если больше никаких величин не дано?

Ответить
- Инна
  
  2015-10-09 в 08:25
  
  Что-то еще должно быть дано, так как для разных треугольников это разная величина.
  
  Ответить
  - Троша
    
    2016-03-30 в 03:49
    
    Даны треугольники Авс и Мто Угол А равен 50 Угол С равен 60 угол М равен 60 угол Т равен 70 Докажите подобие этих треугольников.
    
    Ответить
    - Инна
      
      2016-03-31 в 14:03
      
      В каждом треугольнике найти третий угол.
      
      Ответить
      - Троша
        
        2016-04-03 в 14:43
        
        И как можно решение
        
        Ответить
Алиса

2016-02-07 в 00:42

Здравствуйте, решаю задачу который день, но не могу решить.
Дано: АВС- правильный треугольник со стороной, равной 16. ВD- высота. Точка О лежит произвольно на стороне ВС. ОК перпендикуляр к АВ, ОN перпенд. к BD. Найти: длину перпендикуляров ОК и ОN.

Ответить
- Инна
  
  2016-02-07 в 07:45
  
  Длина каждого перпендикуляра зависит от расположения точки О. Может быть нужно найти какое-то соотношение длин перпендикуляров ОК и ОN?
  
  Ответить
Адхам

2016-03-03 в 16:38

Найти длины сторон треугольника. 3. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона b. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковым ребром.

Ответить
sergei

2016-03-04 в 10:19

в треугольнике abc проведена биссектриса угла A,градусная мера которого равна 30 градусов.площади полученных при этом треугольников равны 2 и 6.найти длину h меньшей из высот треугольника abc

Ответить
- Инна
  
  2016-03-04 в 10:57
  
  Пусть проведена биссектриса АК, площадь АВК=2, площадь АКС=6. Тогда АВ/АС=2/6=1/3
  Пусть АВ=х, тогда АС=3х. По теореме косинусов выразим через х длину стороны ВС. Найдем, какая сторона наибольшая. Выразим через х площадь треугольника АВС, и найдем х. Меньшая высота опущена на большую сторону.
  
  Ответить
  - sergei
    
    2016-03-04 в 15:51
    
    Спасибо!
    
    Ответить
Лена

2016-03-30 в 03:54

В треугольнике АВС, АВ=15М , АС=20м, ВС=32М
НА стороне АВ отложен отрезок АО =9см , а на стороне Ас отрезок АЕ =12 см . Найдите ОЕ и отношение площадей треугольников Авс и Аое

Ответить
- Инна
  
  2016-03-31 в 14:02
  
  Треугольники АВС и АОЕ подобны: АО:АВ=АЕ:АС, угол А — общий. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  
  Ответить
Лена

2016-03-30 в 03:57

В равнобедринем треугольникее Авс , Ас =10см , Ав = Вс =20 см .на староне Вс отмечена точка О .Так что Со:Во . Найдите Ао

Ответить
- Инна
  
  2016-03-31 в 13:59
  
  Что это значит Со:Во?
  
  Ответить
  - Кирилл
    
    2016-04-07 в 13:14
    
    Известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и BC треугольника ABC находится на стороне AC. Определи длину отрезков, в которых точка D делит сторону AC, если AC=58 см.
    
    Ответить
    - Кирилл
      
      2016-04-07 в 13:17
      
      В треугольнике ABC серединный перпендикуляр стороны BC пересекает сторону AC в точке D. Определи длины отрезков AD и DC, если BD=42 см и AC=56 см.
      
      Ответить
      - Инна
        
        2016-04-07 в 14:54
        
        BD=DC=42 (точки, лежащаие на сер. перп. к отрезку равноудалены от концов отрезка); AD=AC-DC
        
        Ответить
    - Инна
      
      2016-04-07 в 13:46
      
      Точка пересечения сер. перп. — центр описанной окружности. Отсюда AD=DC=29
      
      Ответить