Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Май 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1

В этой статье мы рассмотрим еще один тип тригонометрических уравений - уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x}.

Разберем подробно решение такого уравнения:

4-4(cos{x}-sin{x})-sin{2x}=0

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x} решаются по стандартной схеме.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

4-4(cos{x}-sin{x})-2sin{x}cos{x}=0

Введем замену переменной. Обозначим t=cos{x}-sin{x}. Теперь наша задача выразить  sin{x}cos{x} через t.

Поступим так: возведем  выражение t=cos{x}-sin{x} в квадрат. Получим:

t^2=cos^2{x}-2sin{x}cos{x}+sin^2{x}=1-2sin{x}cos{x}

Отсюда 2sin{x}cos{x}=1-t^2 

Введем замену: 4-4t-(1-t^2)=0

Решим квадратное уравнение:

t^2-4t+3=0

Сумма коэффициентов уравнения равна нулю, следовательно, t_1=1,  t_2=3

Вернемся к исходной переменной. Теперь нам надо решить два уравнения:

cos{x}-sin{x}=1 и cos{x}-sin{x}=3.

Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла,

Начнем с уравнения cos{x}-sin{x}=1

Вынесем за скобку sqrt{2}:

sqrt{2}({1/{sqrt{2}}}cos{x}-{1/{sqrt{2}}}sin{x})=1

(1/{sqrt{2}}=sqrt{2}/2=sin({pi}/4)= cos({pi}/4))

Разделим обе части уравнения на  sqrt{2}, получим в итоге

 sin({pi}/4)cos{x}-cos({pi}/4)sin{x}=sqrt{2}/2

sin({pi}/4-x)=sqrt{2}/2

 {pi}/4-x={pi}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}  или  {pi}/4-x={3{pi}}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}

Отсюда x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

Рассмотрим второе уравнение: cos{x}-sin{x}=3

Используем выполненные преобразования, получим:

sin({pi}/4-x)=3/{sqrt{2}} 

Очевидно, что  3/{sqrt{2}}>1 , поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

А теперь я предлагаю вам самостоятельно решить задание:

Решите уравнение 5sin{2x}-11(sin{x}+cos{x})+7=0. В ответе укажите множество решений, принадлежащих промежутку delim{[}{0;{pi}}{]}

и сверить свое решение с ВИДЕОУРОКОМ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1
| Отзывов (31)

Отзывов (31)

Следующие комментарии →
  1. ella
    в 19:58

    Клево!
    Ответить
  2. татьяна
    в 09:58

    Прекрасный урок.
    Ответить
  3. Анастасия
    в 09:14

    хотела спросить, у меня уравнение sin^2(3x)+sin^2(4x)=sin^2(6x)+sin^2(6x)
    решив его, у меня получились корни:
    x=pi/2+pi*k
    x=(pi*n)/9
    x=(pi*m)/2
    как теперь определить какая серия включает другую и записать правильный ответ?
    Ответить
    • Инна
      в 15:57

      Тщательно отметь все решения на круге, и все станет видно
      Ответить
  4. дмитрий
    в 14:31

    можно-ли где-нибудь взять все формулы тригонометрии?
    Ответить
  5. оксана
    в 10:07

    Добрый день. Подскажите, пожалуйста, правильно ли поняла. В задании требуется найти значение х, при которых tg х=0, tg х0 на отрезке [-3π/2; π/2]. Я считаю, что это следующие значения. Правильно?

    На отрезке [-3π/2; π/2] tg x = 0, при х=0, х=-π;
    На отрезке [-3π/2; π/2] tg х<0, при 0<x<-π/2 и -π<x0, при 0>xx>-π/2
    Ответить
    • Инна
      в 10:20

      tg х<0 при -п/20 при -п
      Ответить
      • Инна
        в 10:23

        tg х<0 при (-п/2;0) и (-3п/2; -п)
        Ответить
      • Инна
        в 10:25

        tg х>0 при (-п; -п/2) и (0;п/2)
        Что-то знаки больше-меньше не вводятся
        Ответить
        • оксана
          в 09:26

          Спасибо. Вы помогли с логарифмами, а вот теперь я изучаю тригонометрию и думаю без вашей помощи не обойдусь. Что то в ней пока не очень разбираюсь Еще раз спасибо.
          Ответить
          • Инна
            в 10:27

            Оксана, рекомендую приобрести видеолекции 5 и 6 — они помогут разобраться в тригонометрии и научиться решать С1. Посмотрите на странице ВИДЕОЛЕКЦИИ. Вы можете посмотреть фрагмент каждой видеолекции и понять, подходит ли она вам.
            Ответить
  6. оксана
    в 10:08

    На отрезке [-3π/2┤; ├ π/2] tg х<0, при 0<x<-π/2 и -π<x0, при 0>xx>-π/2
    Заранее спасибо.
    Ответить
  7. оксана
    в 11:36

    Спасибо за совет. Благодаря вашим лекциям в принципе, я уже разобралась со многим, но почему то самое элементарное вызывает ступор. Если не сложно подскажите еще одну вещь. Чему будет равно sin(π/12)∙cos(π/12)=? Конечно, что пи=180, а следовательно 180/12=15 и далее смотреть таблицу. Можно так, а еще есть варианты решения.?
    Ответить
    • Инна
      в 11:40

      Это часть формулы синуса двойного угла. Не хватает 2. Умножь выражение на 2/2, в числителе получишь синус двойного угла, а в знаменателе 2.
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *