Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Май 2012
ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и  vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a}  и vec{c}, а также vec{b} и vec{c}  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a}, vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число k называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB}, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k<0, и длина которого равна длине вектора  vec{AB}, умноженной на k:

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|}=kdelim {|}{vec{AB}}{|}:

Чтобы сложить  два вектора vec{a} и vec{b}, нужно начало вектора  vec{b} соединить с концом вектора vec{a}. Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b}:

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c}, который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a}:

vec{a}-vec{b}=vec{c}:        vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a}  вычесть вектор vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a}( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов  vec{AB} и vec{AD}.

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AB} и vec{AD}.  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов  vec{AO} и vec{BO}.

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов  vec{AO} и vec{BO}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}.

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AB}+ vec{AD}.

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AD}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AC}.

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AO}+ vec{BO}.

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AO} и vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3}  Найдите длину вектора  vec{AB} +vec{AC}.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} -vec{AC}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
| Отзывов (99)

Отзывов (99)

Следующие комментарии →
  1. Макс
    в 22:38

    А где же ответы!? Для проверки нужны!
    Ответить
    • Макс
      в 23:14

      Я нашел ответы)
      Ответить
      • Макс
        в 11:43

        Спасибо!
        Ответить
      • кирилл
        в 16:42

        где?
        Ответить
  2. Саша Цупач
    в 12:38

    Одлични примери.Поздрав из Београда.
    Ответить
    • Инна
      в 12:49

      Спасибо, приятно!
      Ответить
  3. Артём
    в 06:03

    Наверное вы очень хороший преподователь, и ученики вас любят))))
    Ответить
    • Инна
      в 17:50

      Есть немного 🙂
      Ответить
  4. наталья
    в 13:54

    помогите пожалуйста, учитель задал мне как самостоятельную работу: точка А(3;5;7), точка В(-2;1;0), найти координату и длину вектора АВ
    Ответить
    • Инна
      в 14:40

      Координаты вектора АВ: из координат конца вычитаем координаты начала: АВ(-2-3; 1-5; 0-7)
      Длина вектора a(x;y;z) вычисляется по формуле: sqrt(x^2+y^2+z^2)
      Ответить
  5. я
    в 05:04

    Как найти направление вектора, относительно другого вектора?
    Ответить
    • Инна
      в 08:02

      Вектор имеет направление безотносительно другого вектора: вектор — это направленный отрезок.
      Ответить
  6. Мария
    в 18:38

    не могу найти ответы(((
    Ответить
  7. Полина
    в 18:31

    найдите длину вектора АВ с началом А(1;2) и концом В(4;6)
    Ответить
    • Инна
      в 05:53

      Координаты вектора АВ(4-1;6-2): АВ(3;4)
      Длина АВ=sqrt(3 ^2+4^2)=5
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *