Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Май 2012
ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и  vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a}  и vec{c}, а также vec{b} и vec{c}  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a}, vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число k называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB}, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k<0, и длина которого равна длине вектора  vec{AB}, умноженной на k:

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|}=kdelim {|}{vec{AB}}{|}:

Чтобы сложить  два вектора vec{a} и vec{b}, нужно начало вектора  vec{b} соединить с концом вектора vec{a}. Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b}:

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c}, который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a}:

vec{a}-vec{b}=vec{c}:        vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a}  вычесть вектор vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a}( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов  vec{AB} и vec{AD}.

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AB} и vec{AD}.  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов  vec{AO} и vec{BO}.

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов  vec{AO} и vec{BO}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}.

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AB}+ vec{AD}.

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AD}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AC}.

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AO}+ vec{BO}.

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AO} и vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3}  Найдите длину вектора  vec{AB} +vec{AC}.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} -vec{AC}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
| Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Алина
    в 10:29

    Дан вектор b=-i-2j+3k найти его координаты,помогите пожалуйста
    Ответить
    • Инна
      в 11:01

      (-1, -2, 3)
      Ответить
  2. АНДРЕЙ
    в 07:41

    помогите деревянному)) дан треугольник с тупым углом N в 135 градусов.NM=5, NS=2*КОРЕНЬ ИЗ 2. надо найти NM*NS
    Ответить
    • Инна
      в 07:45

      NM*NS=5*2*КОРЕНЬ ИЗ 2*cos135=5*2*КОРЕНЬ ИЗ 2*(-КОРЕНЬ ИЗ 2)/2=-10
      Ответить
      • АНДРЕЙ
        в 08:03

        а можно ещё?
        Ответить
  3. АНДРЕЙ
    в 08:18

    в равностороннем треугольнике FEM сторона FE=10. EF*EM? EF*EM=10*10*1/2=50. верно ли решение?
    Ответить
    • Инна
      в 08:26

      Верно
      Ответить
      • АНДРЕЙ
        в 08:37

        спасибо, с праздником вас)
        Ответить
        • Инна
          в 08:43

          С праздником! 🙂
          Ответить
  4. АНДРЕЙ
    в 10:08

    что то я запутался совсем ))ищем косинус угла С. А(-4;8) в(2;14) С(4;0)
    находим длины: АВ= sqrt(-4-2)^2+(8-14)^2= sqrt6^2+6^2= sqrt72
    АС= sqrt(-4-4)^2+(8-0)^2= sqrt8^2+8^2= sqrt128
    BC= sqrt(2-4)^2+(14-0)^2= sqrt-2^2+14^2= sqrt192
    cosC=(AB^2+BC^2-AB^)/(2*AB*BC)=72+192-128\2*sqrt72*sqrt192
    верно ли решение или я напутал??
    Ответить
  5. Инна
    в 13:58

    BC=sqrt(200)
    Ответить
  6. Ксения
    в 16:30

    а можете все общие формулу написать? сложение, вычитание, умножение векторов .
    Ответить
    • Инна
      в 16:58

      Да, как раз сейчас пишу.
      Ответить
  7. Ксения
    в 16:45

    А можете еще раз,пожалуйста, повторить все формулы , сложение , вычитание, умножение и т.д.?
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *