Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Май 2012
ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и  vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a}  и vec{c}, а также vec{b} и vec{c}  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a}, vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число k называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB}, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k<0, и длина которого равна длине вектора  vec{AB}, умноженной на k:

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|}=kdelim {|}{vec{AB}}{|}:

Чтобы сложить  два вектора vec{a} и vec{b}, нужно начало вектора  vec{b} соединить с концом вектора vec{a}. Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b}:

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c}, который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a}:

vec{a}-vec{b}=vec{c}:        vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a}  вычесть вектор vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a}( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов  vec{AB} и vec{AD}.

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AB} и vec{AD}.  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов  vec{AO} и vec{BO}.

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов  vec{AO} и vec{BO}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}.

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AB}+ vec{AD}.

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AD}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AC}.

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AO}+ vec{BO}.

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AO} и vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3}  Найдите длину вектора  vec{AB} +vec{AC}.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} -vec{AC}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
| Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Диана
    в 10:32

    помогите пожалуйста…
    две стороны прямоугольника ABCD равны 4 и 21. найдите скалярное произведение векторов AB и AD
    Ответить
    • Инна
      в 11:19

      Нулю — угол между этими векторами равен 90 градусов.
      Ответить
  2. Миша
    в 15:26

    Помогите с решение: найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (-7;13), (10;28), (10;32). Забыл как такое решается.
    Ответить
    • Инна
      в 15:42

      1. Нужно треугольник нарисовать в координатной плоскости.
      2. Пусть А(-7;13), В(10;28), С(10;32) ВС — основание, высота — перпендикуляр, проведенный из А на продолжение ВС
      ВС=4, высота = 10-(-7)=17
      Ответить
      • Миша
        в 15:51

        спасибо большое!
        Ответить
  3. Таня
    в 12:53

    Объясните, пожалуйста, почему в 12ой задаче AO= AB*sin60?
    Ответить
    • Инна
      в 16:13

      АО — катет прямоугольного треугольника АОС, лежащий против угола 60 градусов.
      Ответить
  4. светлана
    в 09:34

    помогите пожалуйста никак разобраться не могу.Векторы а =(1,2,-3)и б=(1,3,2) совпадают со сторонами параллелограмма.нужно найти векторы ,совпадающие с его диагоналями.
    Ответить
    • светлана
      в 09:35

      извините вектор б=(2,1,2)
      Ответить
      • Инна
        в 13:17

        Одна из диагоноалей параллелограмма является суммой этих векторов, а вторая — разностью. Это можно проверить, начертив произвольный параллелограмм на плоскости.
        Ответить
        • светлана
          в 13:27

          спасибо большое
          Ответить
  5. юлия
    в 18:30

    Найдите вектор с=а и его абсолютную величину, если вектор а(-2;7) вектор b( 4; -1)
    Ответить
  6. юлия
    в 18:31

    Поправка » найдите вектор с=а-b…»
    Ответить
  7. Нина
    в 10:46

    При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 13 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 7 тонн щебня и 50 мешков цемента. Тонна камня стоит 1450 рублей, щебень стоит 700 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 220 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешевый вариант?
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *