Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-05-25

Главная » СТАТЬИ » ВИДЕОУРОКИ » Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

25 Май 2012

ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a} и vec{c} , а также vec{b} и vec{c} направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a} , vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB} , если k>0 , и направленный в противоположную сторону, если k<0 , и длина которого равна длине вектора vec{AB} , умноженной на :

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|} =k delim {|}{vec{AB}}{|} :

Чтобы сложить два вектора vec{a} и vec{b} , нужно начало вектора vec{b} соединить с концом вектора vec{a} . Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b} :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c} , который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a} :

vec{a}-vec{b}=vec{c} : vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a} вычесть вектор vec{b} , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a} ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b} , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов vec{AB} и vec{AD} .

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AD} . (чертеж из предыдущей задачи).

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов vec{AO} и vec{BO} .

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов vec{AO} и vec{BO} . (чертеж из предыдущей задачи).

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} .

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} + vec{AD} .

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AD} .(чертеж из предыдущей задачи).

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AC} .

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} + vec{BO} .

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO} .(чертеж из предыдущей задачи).

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов vec{AO} и vec{BO} .(чертеж из предыдущей задачи).

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3} Найдите длину вектора vec{AB} + vec{AC} .

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AC} .(чертеж из предыдущей задачи).

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC} . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Инна | Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Катя

2013-09-19 в 16:27

Здравствуйте, помогите пожалуйста. Диагонали прямоугольника ABCD стороны которого AB=6 BC=6√3, пересекаются в точке о найдите скалярное произведение векторов OC и OD. Заранее спасибо

Ответить
- Инна
  
  2013-09-19 в 17:28
  
  Из треугольника BСD Найди диагональ BD — ее длина равна удвоенной длине вектора OD, |OD|=|OC| Потом нужно найти угол между векторами из треугольника COD — будет понятно, чему он равен.
  
  Ответить
Татьяна

2013-10-13 в 09:47

Добрый день. Помогите решить. Даны точки А(5,6) В(3,2) С(4,1) Найти вектор АВ и все что с ним связано и не понятно что с точкой С

Ответить
- Инна
  
  2013-10-13 в 10:33
  
  посмотрите здесь: //ege-ok.ru/2013/04/04/vektoryi-i-koordinatyi-bazovyie-zadachi/
  
  Ответить
  - Татьяна
    
    2013-10-13 в 10:59
    
    А как думаете зачем препод дал значение точки С
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-10-13 в 11:23
      
      Не знаю. Может быть есть еще какой-то вопрос.
      
      Ответить
      - Татьяна
        
        2013-10-13 в 13:44
        
        Правильно ли я нашла координаты вектора АВ(-2,-4) и длина вектора АВ 2√5
        
        Ответить
Маня

2013-10-27 в 13:41

|a+b| = 17
|a-b| = 19
|a| = 10 найти |b|. заранее спасибо!

Ответить
- Инна
  
  2013-10-27 в 15:01
  
  Построить параллелограмм ABCD. В нем AD=|b|, AB=CD=|a|. О — точка пересечения диагоналей. Тогда AC=|a+b| = 17; BD=|a-b| = 19
  Из треугольника OCD найти cosOCD по теореме косинусов.
  Записать теорему косинусов для треугольника ACD и найти AD=|b|
  
  Ответить
  - Маня
    
    2013-10-27 в 17:57
    
    Спасибо!!
    
    Ответить
Денис

2014-01-18 в 18:02

Что называется декартовым базисом?
и координатами вектора в данном базисе?=)

Ответить
- Инна
  
  2014-01-19 в 15:59
  
  Единичные вектора, сонаправленные осям координат называются базисными векторами. Коэффициенты в разложении вектора по базисным координатам называются координатами вектора.
  
  Ответить
лилия

2014-02-20 в 16:08

помогите задачу решить сторона квадрата ABCD=13.найдите скуаларное произведение векторов AB и AC

Ответить
- Инна
  
  2014-02-20 в 16:13
  
  Угол между векторами равен 90 градусов, следов. скал произв. равно нулю.
  
  Ответить
Юля

2014-05-18 в 11:18

Добрый день помогите мне с заданием.
Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:
1) ВА+ АС 2) СА-СВ 3) ВС+ВА

Ответить
Юля

2014-06-04 в 11:43

Помогите. Стороны прямоугольника относятся как 2:3. Периметр 30 см. Найти стороны.

Ответить
- Инна
  
  2014-06-04 в 12:37
  
  Одна сторона 2х, вторая 3х, тогда периметр 10х=30
  
  Ответить