Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Май 2012
ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и  vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a}  и vec{c}, а также vec{b} и vec{c}  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a}, vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число k называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB}, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k<0, и длина которого равна длине вектора  vec{AB}, умноженной на k:

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|}=kdelim {|}{vec{AB}}{|}:

Чтобы сложить  два вектора vec{a} и vec{b}, нужно начало вектора  vec{b} соединить с концом вектора vec{a}. Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b}:

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c}, который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a}:

vec{a}-vec{b}=vec{c}:        vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a}  вычесть вектор vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a}( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов  vec{AB} и vec{AD}.

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AB} и vec{AD}.  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов  vec{AO} и vec{BO}.

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов  vec{AO} и vec{BO}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}.

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AB}+ vec{AD}.

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AD}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AC}.

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AO}+ vec{BO}.

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AO} и vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3}  Найдите длину вектора  vec{AB} +vec{AC}.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} -vec{AC}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
| Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Юля
    в 16:31

    Помогите знайти область область определения функций
    1
    У=√(25-9х)
    Ответить
  2. Юля
    в 16:32

    ошибка
    1
    У=√(25-9х)
    Ответить
  3. Ильсур
    в 10:08

    Помогите пожалуйста решить:
    Длина векторов а и с равна 1, длина вектора b равна 2. угол между а и b равен 60 градусов, угол между b и с тоже равен 60 градусов.
    Требуется найти длину вектора a+b+c.
    Ответить
    • Инна
      в 10:24

      Надо сделать максимально точный чертеж.
      Потом сначала найти сумму векторов а и с — длина вектора а+с равна 1 и он коллинеарен вектору b (там получатся правильные треугольники) Тогда длина вектора (a+c)+b=3
      Ответить
  4. Ильсур
    в 10:22

    Спасибо. Чертеж есть. Но не могу прикрепить сюда.
    Я правильно понимаю, что а+с складываются по теореме Пифагора или по теореме косинусов. sqrt(1^2+1^2)=1 (квадратный корень из суммы один в квадрате и один в квадрате).
    А (a+c) и b — коллинеарны, они просто складываются 1+2=3.
    Ответить
    • Инна
      в 10:39

      Нет, угол между а и с равен 120 градусов, вектор а+с — диагональ ромба со смежными сторонами а и с. Диагональ равна стороне и равна 1.
      Ответить
  5. ильсур
    в 16:32

    Простите,но почему диагональ равна стороне?
    Ответить
    • Инна
      в 17:08

      Сделай максимально точный чертеж. угол между векторами а и с равен 120 градусов, ищем сумму по правилу параллелограмма — это диагональ параллелограмма со смежными сторонами а и с, параллелограмм является ромбом, так как а=с=1.
      Ответить
  6. Маша
    в 13:45

    А какой ответ в 12 задаче получился? Не могу найти решение
    Ответить
  7. Данька
    в 14:32

    как найти координаты разности двух векторов ?

    Найти координаты среднины отрезка,если конец его имеет координаты А(-3:-2:-4)и B(1:-4:2)

    найдите длину вектора BA если А (-3..2..-4) и B (1..-4..2)

    вычислите растояне от точки 0 до точки p если 0(1..5..-3) и Р(1..2..3)

    Помогите пожалуйста !
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *