Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-05-25

Главная » СТАТЬИ » ВИДЕОУРОКИ » Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

25 Май 2012

ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a} и vec{c} , а также vec{b} и vec{c} направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a} , vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB} , если k>0 , и направленный в противоположную сторону, если k<0 , и длина которого равна длине вектора vec{AB} , умноженной на :

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|} =k delim {|}{vec{AB}}{|} :

Чтобы сложить два вектора vec{a} и vec{b} , нужно начало вектора vec{b} соединить с концом вектора vec{a} . Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b} :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c} , который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a} :

vec{a}-vec{b}=vec{c} : vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a} вычесть вектор vec{b} , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a} ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b} , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов vec{AB} и vec{AD} .

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AD} . (чертеж из предыдущей задачи).

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов vec{AO} и vec{BO} .

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов vec{AO} и vec{BO} . (чертеж из предыдущей задачи).

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} .

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} + vec{AD} .

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AD} .(чертеж из предыдущей задачи).

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AC} .

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} + vec{BO} .

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO} .(чертеж из предыдущей задачи).

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов vec{AO} и vec{BO} .(чертеж из предыдущей задачи).

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3} Найдите длину вектора vec{AB} + vec{AC} .

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} - vec{AC} .(чертеж из предыдущей задачи).

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC} . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Инна | Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Алекс

2014-11-26 в 11:50

Величина, которая задается своей длиной и направлением, называется…????

Ответить
- Инна
  
  2014-11-27 в 11:40
  
  вектором)))
  
  Ответить
Эра

2015-03-15 в 11:03

Спасибо, очень помогли 🙂

Ответить
Света

2015-03-16 в 14:39

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! в параллелограмме abcd угол а=120 ad=4 вс=3 найдите скалярное произведение векторов DA и DC

Ответить
- Инна
  
  2015-03-16 в 14:45
  
  Уточните условие. ad=вс
  
  Ответить
Денис

2015-06-17 в 12:29

Помогите понять , забыл все
Вот ваша задачка №12 -1 Стороны треугольника абс равны 2 корень 3 .найдите длины векторов аб+ас.Откуда появилось цифра 3 когда
2 корень 3 * корень 3/2=3.

Ответить
- Инна
  
  2015-06-17 в 13:05
  
  2 и 2 сокращается, √3*√3=3
  
  Ответить
  - Денис
    
    2015-06-17 в 19:40
    
    спс,А вот еще один вопрос а откуда взялись корень 3 /2
    
    Ответить
    - Инна
      
      2015-06-19 в 08:10
      
      $sin{60^{circ}}=sqrt{3}/2$
      
      Ответить
masha

2015-09-18 в 20:33

вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы в 60 гр. и 120 гр. найти координаты ах, ау, az, если |a|=2

Ответить
- Инна
  
  2015-09-19 в 13:39
  
  см. здесь http://prntscr.com/8i2qpi
  
  Ответить
Женя

2015-09-21 в 16:15

пусть модуль вектора a=8, модуль вектора b=5, разность модуля векторов равна 13. Найти сумму модуля векторов.

Ответить
- Инна
  
  2015-09-22 в 06:15
  
  Так как вектор разности а и b соединяет концы векторов, в этой задаче векторы а и b выходят из одной точки, коллинеарны и направлены в противоположные стороны (13=8+5). Поэтому модуль суммы векторов равен 8-5. А сумма модулей равна 8+5=13
  
  Ответить
Катя

2015-10-11 в 13:21

abcd-параллелограмм ac пересекается bd в точке o найти сумму векторов bc+oa

Ответить
- Инна
  
  2015-10-11 в 17:25
  
  вектор вс равен вектору ad, поэтому bc+oa=оа+ad=od
  
  Ответить