Видеолекция «Планиметрия. Теорема Менелая, теорема Чевы, окружность девяти точек, прямая Эйлера»

Видеолекция «Планиметрия. Теорема Менелая, теорема Чевы, окружность девяти точек, прямая Эйлера» содержит условия и доказательства перечисленных теорем.  А также задачи, в решении которых используются эти теоремы. Непростые теоремы и задачи изложены легко и изящно.

КУПИТЬ ВИДОЛЕКЦИЮ «Планиметрия. Теорема Менелая, теорема Чевы, окружность девяти точек, прямая Эйлера»

Содержание видеолекции:

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник , причем точка -  точка ее пересечения со стороной  ,    - точка ее пересечения со стороной , и   - точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Доказательство.

Задача 1.

Дан треугольник .  На продолжении стороны за точку взята точка , причем . Точка находится на стороне  , причем . В каком отношении прямая делит сторону ?

Теорема Чевы. Пусть точки   лежат на сторонах и  треугольника соответственно. Пусть отрезки ,  и пересекаются в одной точке. Тогда

Доказательство.

Обратная теорема Чевы. Пусть точки   лежат на сторонах и  треугольника соответственно. Пусть выполняется соотношение

Тогда отрезки , ,  и пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Задача 2.

На сторонах и  остроугольного треугольника  взяты точки  и   соответственно так, что  . Найдите в каком отношении делит отрезки и    точка пересечения этих отрезков.

Задача 3.

На высоте остроугольного треугольника взята точка . Прямые  и  пересекают стороны и  в точках  и   соответственно. Докажите, что луч  — биссектриса угла .

Тригонометрическая форма  теоремы Чевы. Пусть точки   лежат на сторонах (или на их продолжениях) и  треугольника соответственно. Обозначим , , , , , . (Имеются в виду ориентированные углы.)

Тогда прямые   и  пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда

Задача 4.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон пересекаются в одной точке.

Окружность девяти точек. Пусть — некоторый треугольник. Тогда на одной окружности лежат следующие девять точек: середины  сторон , соответственно, основания высот , опущенных из , середины отрезков , где — ортоцентр треугольника .

Следствия:

1. Центр окружности девяти точек является серединой отрезка , где — центр описанной окружности, а — ортоцентр.
2. Радиус окружности девяти точек в два раза меньше радиуса описанной окружности треугольника.

Доказательство.

Прямая Эйлера. Пусть -центр описанной окружности треугольника . - точка пересечения медиан, — ортоцентр. Тогда точки и лежат на одной прямой, которая называется прямой Эйлера, причем .

Доказательство.

Задача 5.

Докажите, что если прямая Эйлера проходит через центр вписанной окружности, то треугольник равнобедренный.

Продолжительность видеолекции 1 час 15 мин.

КУПИТЬ ВИДОЛЕКЦИЮ «Планиметрия. Теорема Менелая, теорема Чевы, окружность девяти точек, прямая Эйлера»