Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
25 Май 2012
ВИДЕОУРОКИЗадание 03 (2016)ПЛАНИМЕТРИЯ

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора vec{AB} обозначается delim {|}{vec{AB}}{|}

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора vec{a} и  vec{b} сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора vec{a}  и vec{c}, а также vec{b} и vec{c}  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора vec{a}, vec{b} и vec{c} - коллинеарны.

Произведением вектора vec{AB} на число k называется вектор, сонаправленный вектору vec{AB}, если  k>0, и направленный в противоположную сторону, если  k<0, и длина которого равна длине вектора  vec{AB}, умноженной на k:

delim {|}{{k}{vec{AB}}}{|}=kdelim {|}{vec{AB}}{|}:

Чтобы сложить  два вектора vec{a} и vec{b}, нужно начало вектора  vec{b} соединить с концом вектора vec{a}. Вектор суммы соединяет начало вектора vec{a} с концом вектора vec{b}:

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов vec{a} и vec{b} называется такой вектор vec{c}, который в сумме с вектором vec{b} даст вектор vec{a}:

vec{a}-vec{b}=vec{c}:        vec{c}+vec{b}=vec{a}

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора vec{a}  вычесть вектор vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора vec{b} с концом вектора vec{a}( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором vec{a} и вектором vec{b}, нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: hat{vec{a}vec{b}}={alpha}

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

{vec{a}vec{b}}=delim{|}{vec{a}}{|}delim{|}{vec{b}}{|}cos({hat{vec{a}vec{b}}})

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов  vec{AB} и vec{AD}.

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AB} и vec{AD}.  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов  vec{AO} и vec{BO}.

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов  vec{AO} и vec{BO}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}.

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AB}+ vec{AD}.

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AD}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AB}- vec{AC}.

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  vec{AO}+ vec{BO}.

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора vec{AO} - vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов  vec{AO} и vec{BO}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны 2sqrt{3}  Найдите длину вектора  vec{AB} +vec{AC}.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора vec{AB} -vec{AC}.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов vec{AB} и vec{AC}. (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox


 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Векторы. Действия с векторами. Задание 4 (2015)
| Отзывов (99)

Отзывов (99)

← Предыдущие комментарии
  1. Даша
    в 13:27

    помогите, пожалйста.
    В параллелограмме АВCD тупой угол в два раза
    больше острого, BA = 3, BC=6. Найдите скалярное
    произведение векторов BA и BC.
    Ответить
    • Инна
      в 15:03

      В пар-ме сумма тупого и острого углов равна 180 градусов. Поэтому острый угол равен 60 град., а тупой 120. Если В — тупой угол, то скалярное произведение векторов BA и BC равно

         

      Ответить
  2. София
    в 12:29

    Помогите,1) длины сторон треугольника ABCD равны 7 и 24. постройте вектор BC-DC и найдите его длину.
    2) постройте вектор а-2b и найдите квадрат его длины, если а {4;-2}, b=2i-j
    Ответить
  3. Альп
    в 14:11

    Большое спасибо!Вы мне очень помогли! Все понятно, доступно объясняется. Вам респект!
    Ответить
  4. Сабитова
    в 14:18

    №1 Даны т. А (-1;-2),т. В (0;-4),т. С (-1;-3)
    1)найти координаты АС, координаты 2АС-4АВ
    2)найти косинус острого угла между медианой ВМ и стороной ВС
    3)найти :вектор АВ*вектор ВС+вектор АВ*вектор СА

    №2Дан ромб МРКЕ найти сумму векторов МР+МЕ,КЕ+РК
    Ответить
  5. Ирина
    в 18:22

    Дано, что вектор АВ=2*век(а)+2*век(в) вектор ВС= век(-а)+2*век(в) вектор СД=-3*век(а), век а и в ненулевые и неколлинеарны доказать что АВСД трапеция
    Ответить
    • Инна
      в 18:29

      Надо доказать, что AD=k*BC
      AD=AB+BC+CD=2a+2b-a+2b-3a=-2a+4b=2(-a+2b)=2*BC
      Следовательно, вектора AD и BC коллинеарны, тогда отрезки AD и BC параллельны.
      Отсюда ABCD — трапеция.
      Ответить
  6. Елена
    в 22:09

    подскажите пожалуйста, весь вечер крутила, мой ответ корень из 17, а в ответах 2корня из 17.

    это мои рассуждения СА-СВ=ВА, ВА+АВ=0, остается ОА, а это 1/2АС

    найти длину вектора СА-СВ+АВ-АО, если авсд прямоугольник и ав=8, вс=2
    Ответить
    • Инна
      в 06:40

      Елена, думаю, что Вы правы.
      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *