Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
22 Май 2013
17 Задание (2022) (C6)ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Метод мажорант и задачи с параметром. Задание С5

Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ  по математике :

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение:

a^2+6delim{|}{x}{|}+5sqrt{3x^2+25}=3x+2delim{|}{x-5a}{|}

Решение. Мы видим, что исходное уравнение содержит два выражения под знаком модуля. Поэтому первая задача - раскрыть модули.

Возможны четыре случая:

1. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=0} {x-5a>=0} }}{ }

2. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=0} {x-5a<=0} }}{ }

3. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=0} {x-5a>=0} }}{ }

4. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=0} {x-5a<=0} }}{ }

Рассмотрим каждый случай:

1. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=0} {x-5a>=0} }}{ }

Оба подмодульных выражения неотрицательны, следовательно оба модуля раскрываем с тем же знаком:

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=3x+2(x-5a)

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=3x+2x-10a

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=5x-10a

Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо:

5sqrt{3x^2+25}=-a^2-6(x)+5x-10a

5sqrt{3x^2+25}=-a^2-10a-x

Теперь оценим выражения в правой и левой частях уравнения, для этого сначала в правой части выделим полный квадрат:

5sqrt{3x^2+25}=-a^2-10a-25+25-x

5sqrt{3x^2+25}=-(a+5)^2+25-x

Оценим левую часть уравнения:

3x^2+25>=25

sqrt{3x^2+25}>=5

5sqrt{3x^2+25}>=25

Итак, левая часть уравнения больше или равна 25.

Рассмотрим правую часть уравнения:

-(a+5)^2+25-x=25-(a+5)^2-x. Мы видим, что из числа 25 мы вычитаем два неотрицательных выражения: (a+5)^2 и x ( в рассматриваемом случае x>=0), следовательно, правая часть уравнения меньше или равна 25. 

Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если x=0 и a=-5

Мы получили первое решение: при  a=-5 уравнение имеет единственный корень x=0. 

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

2. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=0} {x-5a<=0} }}{ }

Первое подмодульное выражение раскрываем с тем же знаком, а второе - с противоположным:

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=3x-2(x-5a)

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=3x-2x+10a

a^2+6(x)+5sqrt{3x^2+25}=x+10a

5sqrt{3x^2+25}=-a^2-6(x)+3x-2x+10a

5sqrt{3x^2+25}=-a^2+10a-5x

5sqrt{3x^2+25}=-(a-5)^2+25-5x

Левая часть уравнения больше или равна 25, правая часть уравнения меньше или равна 25. 

Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если x=0 и a=5

Мы получили второе решение: при  a=5 уравнение имеет единственный корень x=0. 

Совершенно аналогично рассматриваются третий и четвертый случаи. Рассмотрите их самостоятельно.

Третье решение: при  a=-5 уравнение имеет единственный корень x=0.

И четвертое решение: при  a=5 уравнение имеет единственный корень x=0. 

Ответ: {-5;5}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Метод мажорант и задачи с параметром. Задание С5
| Отзывов (26)

Отзывов (26)

Следующие комментарии →
  1. ЛЮДМИЛА
    в 21:46

    Ирина!Огромное спасибо за информацию.Очень полезная и своевременная.С удовольствием учусь у Вас! Немного не поняла о видео лекциях.Заказала,но мне пришла информация на опорных листах.Я что-то не так сделала?Подскажите, как заказывать ваши видео лекции.И ещё вопрос,будете ли Вы в ближайшее время проводить семинары?Очень бы хотела поучиться.Особенно много трудностей с С-2.
    Ответить
    • Инна
      в 13:50

      Людмила, я выслала вам видеолекцию еще раз.
      Ответить
  2. Матвей
    в 05:30

    Здравствуйте, позвольте поинтересоваться, почему ответ получился {-5;5}, если итоговые параметры получили значение лишь {5} и {-5}? Если не понял какой-либо момент, прошу прощения.
    Ответить
    • Инна
      в 05:40

      -5 и 5 в фигурных скобках — это множество, которое состоит из двух чисел.
      Ответить
      • Матвей
        в 05:43

        Да-да, спасибо, пока смотрел следующий видеоурок, уже стало понятно. Просто, у нас такое не практиковалось, поэтому и непривычно.
        Ответить
  3. Пётр Цырульник
    в 11:30

    Можно немного короче решить, если раскрыть только модуль, содержащий параметр a. Получим совокупность 2-ух квадратных (относительно a) уравнений и оба имеют решение только при x=0, так как свободный член каждого из уравнений >=25, при x не равном 0.
    Ответить
    • Инна
      в 11:49

      Можно, спасибо!
      Ответить
  4. Екатерина
    в 06:05

    Добрый день! Объясните, пожалуйста, почему в системах все неравенства нестрогие. Спасибо!
    Ответить
    • Инна
      в 09:18

      Потому что при раскрытии модуля мы можем концы промежутков включать в оба промежутка.
      Ответить
  5. Никита
    в 15:02

    Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, почему 3*x^2+25>=25 ? Разве подкоренное выражение не должно быть больше нуля ?
    Ответить
    • Инна
      в 15:11

      Подкоренное выражение больше или равно нуля.
      Ответить
  6. Павел
    в 08:43

    а что будет если левая часть уравнения будет например больше или равна 15 а правая меньше или равна 100?
    Ответить
    • Инна
      в 12:20

      Это будет уже другая задача
      Ответить
  7. УченичОк
    в 09:41

    Добрый день! Сейчас решаю почти аналогичное задание. Подскажите, пожалуйста, что делать если левая часть >=25 а правая <=100. Заранее спасибо. Вот моя левая часть: -a^2+20a-19x
    Ответить
    • УченичОк
      в 09:42

      То есть это моя правая часть, прошу прощения.
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *