Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
12 Фев 2014
ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия - это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической  прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число q={b_k}/{b_{k-1}} называется знаменателем геометрической прогрессии.

 

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

b_k={b_{k-1}}q

b_k={b_{k+1}}/q  

Перемножив эти два равенства, получим:

{b_k}^2={b_{k-1}}*{b_{k+1}}

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера k>l , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

S_n=b_1+b_1{q}+b_1{q}^2+ b_1{q}^3+...b_1{q}^{n-1}  (1)

Умножим обе части равенства на q

S_{n}q= b_1{q}+b_1{q}^2+b_1{q}^3+ b_1{q}^4+...b_1{q}^{n} (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

S_{n}q-S_{n}=b_1{q}^{n}-b_1 (остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

S_{n}(q-1)=b_1({q}^{n}-1 )

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии delim{|}{q}{|}<1 , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при n{right}{infty}, ~b_n{right}0

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если delim{|}{q}{|}<1 .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность c_n=5(-2)^n. Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение {c_n}/{c_{n-1}}=const

 c_{n-1}=5(-2)^{n}

{c_n}/{c_{n-1}}={5(-2)^{n}} /{5(-2)^{n-1}}=-2 -  мы видим, что отношение {c_n}/{c_{n-1}} не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

 

2. Дана геометрическая прогрессия b_n=2(-3)^n

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

1. b_5=2(-3)^{5}=-486

2. S_5={b_1(q^5-1)}/{q-1}

Найдем b_1 и q.

b_1=2(-3)^1=-6

b_2=2(-3)^2=18

q={b_2}/{b_1}={18}/{-6} =-3

S_5={(-6)((-3)^5-1)}/{(-3)-1}={(-6)(-243-1)}/{-4}=-3*122=-366

Ответ: 1. -162; 2. -366

 

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 8;~2;~1/2;...

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле S={b_1}/{1-q}. (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)

b_1=8; q=2/8=1/4

S=8/{1-{1/4}}=8*4/3={32}/3=10{2/3}

Ответ: 10{2/3}

 

4. Дана геометрическая прогрессия (c_n) с положительными членами, в которой c_4=24;~c_6=96.

а) Найдите c_1.

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через c_1 и q. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{c_1*q^3=24} {c_1*q^5=96} }}{ } 

Разделим второе уравнение на первое, получим

q^2=4; q_1=2;~q_2=-2.

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому q>0 .

Найдем c_1. Для этого подставим q=2 в первое уравнение системы.

c_1*2^3=24;~c_1=3

б) По условию S_n=45

 

S_n={c_1(q^n-1)}/{q-1}={3(2^n-1)}=45

2^n-1=15

2^n=16

n=4

Ответ: а) 3; б) 4.

 

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии (b_n) в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение {b_2}/{b_4}.

Выразим условие задачи через b_1 и q

S={b_1}/{1-q}

Т.к. по условию S=3b_1, получим

{b_1}/{1-q}=3b_1. Отсюда 1/{1-q}=3

1-q=1/3;~~q=2/3

Нам нужно найти {b_2}/{b_4}={b_1*q}/{b_1*q^3}=1/{q^2}.

 1/{q^2} 1/{(2/3)^2}=9/4=2,25

Ответ: 2,25

 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.


 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Геометрическая прогрессия. Часть 1
| Отзывов (2)

Отзывов (2)

  1. Ольга
    в 15:04

    2*(-3)^5=-486, разве нет? Почему там -162.
    Простите, если ошибаюсь
    Ответить
    • Инна
      в 15:17

      Ольга, вы не ошибаетесь)
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *