Задание 16 из Тренировочной работы 6.01.2017.
а) В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 
. Отсюда 
(по свойству смежных углов)
Тогда 
(1)
Кроме того, треугольники 
и 
имеют общий угол 
.
Отсюда треугольник подобен треугольнику по двум углам.
б) По условию, площадь треугольника в пять раз меньше площади четырехугольника 
. Следовательно, площадь треугольника равна одной шестой площади треугольника :
Отношение подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия 
Тогда 
, отсюда 
Теперь осталось найти радиус данной окружности. Будем искать его по теореме синусов из треугольников 
и 
, вписанных в эту окружность.
Введем обозначения: пусть 
:
Из треугольника 
получим 
(внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних улов, не смежных с ним).
С другой стороны, по теореме синусов:
, 
.
Отсюда 
. Тогда 
Получили систему уравнений:
Найдем из этой системы значение 
Из второго уравнения системы получим 
. С учетом первого уравнения получим:
Умножим обе части на 2 и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
После возведения в квадрат получим:
Отсюда 
.
Тогда 
Ответ: 
и 
треугольника 
и пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно.
.
и радиус данной окружности, если 
и площадь треугольника 
.
Добавить комментарий