В этой статье вы найдете решение задачи по стереометрии из тренировочной работы №164 А. Ларина.
Решение.
а) Докажем, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
.
по свойству диагоналей ромба. 
- проекция наклонной , тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Докажем, что 
Сделаем выносной чертеж и введем систему координат:
Докажем, что 
Найдем координаты точек:
Так как 
, 
. Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычитаем координаты начала. Тогда координаты вектора 
; 
.
Найдем скалярное произведение векторов 
и 
. Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:
Скалярное произведение равно нулю, следовательно,, отсюда 
Итак, доказали, что и, следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдем объем пирамиды 
.
Из п. а) следует, что 
- высота пирамиды . Найдем длину отрезка .
Треугольник 
подобен треугольнику 
по двум углам. Отсюда:
Тогда 
Найдем площадь основания пирамиды , то есть площадь треугольника 
. 
, следовательно, 
Отсюда 
Ответ: 54
лежит ромб 
с диагоналями 
и 
. Боковое ребро 
равно 
. На ребре 
так, что 
.
перпендикулярна плоскости 
.
.
Спасибо.