Репетитор по математике

Рассмотрим первое уравнение системы.

Геометрически выражение означает расстояние между точками и ;

выражение означает расстояние между точками и .

Выражение означает, что сумма расстояний от точки  до точек  и  равно .

Расстояние между точками  и  равно .

То есть сумма расстояний от точки  до точек  и  равнa длине отрезка . Следовательно, точка  принадлежит отрезку , отсюда .

Рассмотрим второе уравнение:

- это прямая линия, параллельная оси ОХ. Чтобы эта прямая пересекала отрезок , нужно, чтобы выполнялось условие:

Левая часть двойного неравенства выполнятся автоматически по свойству модуля.

Решим неравенство

С учетом ограничения на запишем систему:

Ответ: [1;6]

Будем решать графическим способом.

Построим график первого уравнения:

Раскроем модуль:

1. - это полуплоскость, которая находится выше прямой .

В этой области раскрываем модуль с тем же знаком:

Нас интересует часть параболы, лежащая выше прямой :

2)  - это полуплоскость, которая находится  ниже прямой .

В этой области раскрываем модуль с противоположным знаком:

Нас интересует часть параболы , расположенная ниже прямой  :

Итак, график первого уравнения системы имеет вид:

Второе уравнение системы: .

График уравнения представляет семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, проходящих через точку с координатами (0;-3).

Нас интересует, при каких значениях  параметра график функции  имеет единственную точку пересечения с графиком уравнения .

Очевидно, что это происходит в том случае, если график функции  касается графика уравнения :

Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).

Пусть абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной имеет вид:

Здесь:

После упрощения получим ,

Нас интересует значение  

Тогда 

Уравнение касательной имеет вид:

Отсюда .

Строго говоря, нас интересовал только коэффициент наклона касательной. Коэффициент наклона касательной равне производной функции в точке касания.

Составим уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с координатами (0;-3).

Здесь:

После упрощения получим:  

Нас устраивает

Тогда

Ответ:

Перепишем уравнение в таком виде:

Будем отвечать на вопрос задачи, используя графики.

Построим графики левой и правой частей уравнения:

и .

График функции имеет такой вид:

, если или

, если

Рассмотрим подробнее график функции . Он получается из графика функции сдвигом на единиц вдоль оси и на единиц вдоль оси .

При изменении параметра мы получаем семейство "уголков" вида , вершина которых двигается вдоль прямой .

Осталось зафиксировать моменты, когда "уголок" имеет 3 точки пересечения с графиком функции :

"Уголок" имеет с графиком функции  три общие точки в двух случаях:

- если его левая ветка проходит через точку

- если его левая ветка касается графика функции  в точке .

Найдем соответствующие значения параметра.

1 случай. Подставим координаты точки в уравнение функции .

Решив это уравнение, получим .

2 случай.

Найдем координаты точки . Абсцисса точки  - это абсцисса точки касания прямой, параллельной прямой (левая ветка уголка параллельна этой прямой)  и графика функции .

Коэффициент наклона касательной равен производной функции в точке касания. Получим: , .

Найдем ординату точки касания:

Подставим координаты точки в уравнение функции :

Это уравнение равносильно системе:

Отсюда

Ответ: {}

Перепишем исходное уравнение в таком виде:

Введем замену переменной . Эта замена не облегчит жизнь принципиально, но немного упростит уравнение.

Получим:

Мы очевидным образом можем оценить значение выражения : . Заметим, что наименьшее значение, равное 10, выражение  принимает при .

Теперь перепишем уравнение в таком виде:

Итак, левая часть этого уравнение принимает наименьшее значение, равное 10 при .

Оценим правую часть.

Рассмотрим функцию .

Если , то . При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при будет больше нуля. Следовательно, при  функция  возрастает.

Если , то . При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при будет меньше нуля. Следовательно, при  функция  убывает.

Отсюда следует, что функция  принимает наибольшее значение в точке , и оно равно .

Исходное уравнение будет иметь решения, если .

Теперь осталось найти, при каких значениях выполняется неравенство 

При :

:

При :

:

Ответ: []; []

Перепишем  наше уравнение в таком виде:

(1)

Заметим, что левая и правая части уравнения (1) имеют одинаковую структуру.

Рассмотрим функцию

Тогда уравнение (1) можно переписать так:

Исследуем функцию

,  следовательно функция  возрастает при всех действительных значениях  , и одинаковые значения функция принимает только при одинаковых значениях аргумента.

Отсюда следует, что уравнение  имеет решение, если имеет решение уравнение .

И наоборот, уравнение  не имеет корней, если не имеет корней уравнение .

Рассмотрим уравнение .

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если .

Ответ:

Найдем корни квадратного трехчлена в левой части неравенства с помощью теоремы Виета:

Отсюда

Разложим левую часть неравенства на множители:

Введем параметрическую плоскость  - вертикальная ось , горизонтальная ось .

Изобразим на параметрической плоскости  множество решений неравенства 

Знак неравенства меняется при переходе через нули левой части, то есть через линии и  :

Эти линии являются границами областей  плоскости   в каждой из которых точки соответствуют определенному знаку левой части неравенства. Методом пробной точки определим эти знаки.

Возьмем точку с координатами : , следовательно, в той области, в которой лежит эта точка, левая часть неравенства положительна:

Выделим голубым цветом области, координаты точек которых удовлетворяют исходному неравенству:

Заметим, что точки, лежащие на графиках  и   принадлежат множеству решений исходного неравенства.

Варьируя значения а (двигая слева направо прямую, параллельную вертикальной оси) заметим, что множество решений исходного неравенства содержит не менее пяти целых значений при ,  или при :

Ответ: ]; [

Презентация Галины Медведевой.