Репетитор по математике

Этот метод обычно применяют в тех случаях, если нужно найти значения параметра, при которых уравнение или система уравнений имеют единственное решение.

Заметим, что если мы в системе заменим на , то система от этого не изменится. Это значит, что если пара чисел является решением системы, то пара чисел также будет решением этой системы. Поэтому, чтобы система имела единственное решение, эти пары чисел должны быть одинаковыми. А это будет только в том случае, если .

Пусть . (1)

Тогда получим систему:

(2)

Теперь в полученной системе если мы заменим на , то система не изменится. Это значит, что если некоторое значение является решением системы, то число также будет решением системы.  Чтобы эта система имела единственное решение, нужно, чтобы выполнялось условие . А это возможно только если .

Тогда, с учетом (1) получим  и .

Подставим эти значения в систему, получим

Из последнего уравнения получим или .

Рассмотрим оба варианта.

1) , тогда и .

2) , тогда и .

Теперь осталось установить, при какой паре значений и система имеет единственное решение.

Проверим каждую пару  и .

1) Подставим и в систему (2).

Получим

Из первого уравнения выразим через

и подставим во второе уравнение.

Получим:

.

Это уравнение имеет два решения: . Проверим каждое.

При  получим систему:

(3)

Из второго уравнения системы (3) выразим :

и подставим в третье уравнение системы:

Это уравнение имеет более одного корня, поэтому пара ,  нам не подходит.

2) Подставим и в систему (2).

Получим

(4)

Из первого уравнения выразим через

и подставим во второе уравнение.

Получим:

.

Отсюда или .

При  получим систему:

Из второго уравнения системы (4) выразим :

и подставим в третье уравнение системы:

Введем замену , получим квадратное уравнение , которое не имеет решений.

При  получим систему:

Очевидно, что последнему уравнению систему удовлетворяет только числа и .

Они являются решением и остальный уравнений.

Итак, при  и исходная система имеет единственное решение .

Ответ: , .

Преобразуем исходное уравнение к виду:

.

Структура этого уравнения такова:

.

Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла:

, где (1)

В силу ограниченности функции  уравнение (1) имеет решения, если .

Используем этот факт при решении задачи.

В нашем случае:

Так как получим ограничения на параметр:

Решим это неравенство. Возведем обе части в квадрат и умножим на знаменатель:

Разделим обе части на :

Отсюда .

или 

Тогда  или .

Рассмотрим два случая:

1) 

Тогда

,

В этом случае получим уравнение:

Умножим обе части на и разделим на . Получим:

2) 

Тогда

,

В этом случае получим уравнение:

Умножим обе части на и разделим на . Получим:

.

Итак, получили

Ответ: при ,  ;

при ,  .

Преобразуем исходное неравенство:

Умножим обе части на :

Для левой части неравенства воспользуемся следующим свойством неотрицательных чисел:

, причем  только если  .

Тогда для левой части нашего неравенства справедливо соотношение:

отсюда:

Значит,

Таким образом, чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно  решение, параметр должен удовлетворять неравенству:

.

Далее, так как , следовательно,

Получим следующее ограничение на параметр :

.

Решим это неравенство относительно  параметра и найдем наибольшее значение параметра, удовлетворяющее неравенству:

Отсюда [].

Наибольшее значение , удовлетворяющее условию задачи .

Ответ: 

Сразу отметим, что .

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Освободимся от свободных членов в показателях степеней:

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями:

Разделим обе части уравнения на :

Теперь возможны варианты:

1)  в этом случае левая часть равна нулю, а правая нет. То есть при уравнение не имеет решений.

2) Разделим обе части на , получим:

Оценим, какие значения может принимать левая часть уравнения:

, тогда  

Уравнение имеет решения, если правая часть также больше или равна 1.

Получаем систему ограничений на параметр :

Решим второе неравенство:

С учетом первого условия получим:

Ответ: [

Решение данной  задачи аналогично решению этой.

Преобразуем в правой части уравнения произведение тригонометрических функций в их сумму.

Теперь левую часть представим в виде комбинации выражений и  :

Получим уравнение:

Перепишем его в таком виде:

Рассмотрим функцию

Исследуем ее на монотонность:

Следовательно, функция  возрастает при любом значении , и при различных значениях аргумента она принимает различные значения.

И если , то .

Тогда уравнение  имеет два различных корня, если  имеет два различных корня уравнение

.

Квадратное уравнение имеет два различных решения, если  

Отсюда .

Наибольшее целое значение , удовлетворяющее этому неравенству

Ответ: 0.