ДВИ в МГУ, 14.07.2107. Вариант 2, задача 6. Текстовая задача.
Сделаем рисунок:
В пункте 
встретились Анатолий и Борис, в пункте 
Анатолий с Борисом встретили друзей Анатолия.
Пусть расстояние между пунктами 
и 
равно 
, и пусть расстояние между пунктами и составляет 
- ю часть всего пути.
Пусть скорость катера Анатолия по течению равна 
, скорость катера друзей Анатолия равна 
, скорость течения равна 
, тогда скорость катера Анатолия против течения равна 
.
Составим уравнения для описания встречи в пункте и в пункте .
До встречи Анатолия с Борисом с друзьями Анатолия в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
; 
.
Участок 
Анатолий проплыл по течению, а участок 
- против.
За это время друзья Анатолия на втором катере проплыли путь 
Анатолий и друзья Анатолия были в пути одинаковое время.
Получаем уравнение:
До встречи с друзьями в пункте Анатолий проплыл путь, равный 
по течению и участок 
против течения.
Друзья Анатолия за это время пропыли путь .
Получаем второе уравнение:
Получили систему уравнений:
Вычтем из второго уравнения первое.
Получим уравнение:
Получим систему:
Приведем правые части уравнений к общему знаменателю:
Разделим первое уравнение на второе:
Умножим обе части на знаменатель,
получим:
Ответ:
2 способ.
После того, как мы выразили длины отрезков пути через и , задачу можно было решить другим способом.
Нарисуем график движения:
Зеленая ломаная изображает движение катера Анатолия. Участки и 
- движение по течению с постоянной скоростью. Эти участки изображены параллельными отрезками. Участок - движение против течения.
Красная прямая изображает движение катера друзей Анатолия. Катер двигался с постоянной скоростью в одном направлении.
Точки и - точки встречи катера Анатолия и катера его друзей. Длины участков 
и мы нашли ранее.
Рассмотрим треугольники 
и 
. Они подобны по двум углам (
как накрест лежащие,
как вертикальные), следовательно,
Подставим длины участков пути:
По свойству пропорции получим:
Разделим обе части равенства на 
:
Ответ:
