Репетитор по математике

30. Линейные диофантовы уравнения.

1. Решите уравнение в целых числах.

2. Найдите все целые решения уравнения , удовлетворяющие неравенствам ,

3. В аквариуме у Никиты помимо рыб и улиток живут осьминоги и морские звезды. У осьминога восемь ног, а у морской звезды пять. Никита заметил, что количество морских звезд и осьминогов, взятых вместе, а также количество одних только морских звезд, выражаются двузначными простыми числами. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 239 ног?

4. Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и по 160 кг. Сколько было контейнеров первого и второго вида, если вместе они весят 3 тонны?

31. 1. Найдите двузначное число, которое на 19 больше суммы квадратов его цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр.

2. Найдите двузначное число, которое на 44 больше удвоенного произведения его цифр.

3. Найдите все двузначные числа, которые на 9 больше суммы квадратов своих цифр.

4. Найдите все пары двузначных натуральных чисел, одно из которые в два раза меньше другого, такие, что цифры меньшего из них равны сумме и разности.

25. Име­ет­ся 8 кар­то­чек. На них за­пи­сы­ва­ют по од­но­му каж­дое из чисел -11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19. Кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел -11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19. После этого числа на каж­дой кар­точ­ке скла­ды­ва­ют, а по­лу­чен­ные во­семь сумм пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 123?

в) Какое наи­мень­шее целое не­от­ри­ца­тель­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

Далее

18. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театр мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)? Далее

11. (Александр Ларин, вариант 26)

В школе, где учатся Поля, Маня и Дуня есть длинный коридор, вдоль одной из стен которого расположен длинный ряд из n ячеек, занумерованных натуральными числами от 1 до n, закрывающихся на замки, в которых школьники могут хранить свои личные вещи. Однажды, придя в школу в выходной день, Поля обнаружила все ячейки открытыми. Она стала обходить ряд ячеек с начала до конца, закрывая каждую вторую ячейку. Достигнув конца ряда, она развернулась и снова стала закрывать на замок каждую вторую ячейку из тех, которые были еще открыты.

Обозначим f(n) номер последней открытой ячейки. Например, если количество ячеек n=15, то f(15)=11, как показано на рисунке: Далее