Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x2+4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
x-3=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
x2 -3х=0
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х1=0, х2=3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
3-x=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
x2-5х+6=0
х1=2, х2=3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Ответ: х=3, х=2
Помоги плз пожалуйста с решением x в квадрате плюс один равно нулю решить в комплексном решении, и cos x < 0
Подскажите как решить?
|х|=|у| и -1≤ х ≤ 1
А что нужно сделать?
Помогите пожалуйста решить уравнение 10:|х|- 5,08 = -0,08
10:|х|=5,08-0,08
10:|х|=5
|x|=2
x=2 или х=-2
Помогите пожалуйста решить уравнение 10:|х|-5,08=-0,08
Инна Владимировна, здравствуйте! Объясните, пожалуйста,задание по ГИА. Постройте график функции y=x^2-3|x|+2. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
1. Чертим график. Раскрываем модуль:
а) рассматриваем промежуток х>=0 На этом промежутке строим y=x^2-3x+2
б) рассматриваем промежуток х<0 На этом промежутке строим y=x^2+3x+2
Затем двигаем горизонтальную прямую у=а вдоль полученного графика, и смотрим, какое наибольшее число точек пересечения с графиком она может иметь
Большое спасибо! Вызывало затруднение нахождение точек пересечения.
Их не надо было находить. Вопрос: Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Нужно в ответе указать число точек
решите x1=2t+0,2t2
x2=80-4t
а)найти t=5c S-?
b)найти x2=0 x1=?
А полностью задание?
|0,5x+4|=|0,2x-3|
Решите пожалуйста
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
0,5x+4=0,2x-3 или 0,5x+4=-(0,2x-3)