Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов
В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.
Решить уравнение:
Решение. показать
Перед нами уравнение четвертой степени.
Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.
Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Пусть выполняется равенство:
Здесь -целые числа.
Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим систему уравнений:
Без ограничения общности можем считать, что
, тогда пусть
, отсюда или .
Рассмотрим два случая:
- ,
Получим систему уравнений:
Из второго и третьего уравнений получаем - что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.
2. ,
Из второго и третьего уравнений получаем - и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.
Получили:
Тогда наше разложение имеет вид:
Осталось приравнять квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:
Ответ: ,
И.В. Фельдман, репетитор по математике