Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
20 Янв 2012
06 Задание (2022)ПРОИЗВОДНАЯ

Касательная к графику функции. Задача с параметром.

Задание 7 (№ 119973)  из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции y=28x^2+bx+15 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Для начала, как обычно,  вспомним теорию, и "вытащим" из условия задачи все факты, которые помогут ее решению.

1.  Так как прямая y=-5x+8 является касательной к графику функции y=28x^2+bx+15, следовательно:

а) Производная функции y=28x^2+bx+15 в точке касания равна коэффициенту наклона прямой y=-5x+8 .

То есть y'=-5

Найдем производную функции y=28x^2+bx+15:

y'=56x+b

Получаем: 56x+b=-5,

Так как на значение абсциссы точки касания накладывается дополнительное условие (абсцисса точки касания больше 0), выразим переменную х через параметр b

x={-5-b}/56.

б) Прямая является касательной к параболе, если имеет с ней одну общую точку.

Чтобы найти точку пересечения прямой y=-5x+8 и параболы y=28x^2+bx+15, нужно составить систему уравнений

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{y=-5x+8} {y=28x^2+bx+15} }}{ }

В конечном итоге, нам нужно определить, при каком значении параметра b  эта система имеет единственное решение.

Приравняем правые части уравнений системы:

28x^2+bx+15=-5x+8

Перенесем все слагаемые влево и сгруппируем:

28x^2+(b+5)x+7=0 

Мы получили квадратное уравнение, которое имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю. Приравняем дискриминант к нулю:

D={(b+5)}^2-4*7*28=0

D={(b+5)}^2-16*49=0

Решим квадратное уравнение:

{(b+5)}^2-16*49=0

b^2+10b+25-784=0

b^2+10b-759=0

b_{12}={-10{pm}sqrt{100+4*759}}/2={-10{pm}56}/2

Отсюда b_1=23,  b_2=-33.

По условию задачи абсцисса точки касания больше 0.

Вспомним, как мы выразили абсциссу точки касания через параметр  b:

x={-5-b}/56

Подставим значения параметра b в это равенство.

а)  {b_1}=23,     x={-5-23}/56<0

б)  {b_2}=-33,     x={-5+33}/56>0 

Нас устраивает случай б)

Ответ:  b_2=-33

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Касательная к графику функции. Задача с параметром.
| Отзывов (18)

Отзывов (18)

Следующие комментарии →
  1. Алена
    в 07:42

    Как давно это было!
    Ответить
  2. Ольга Николаевна
    в 09:53

    Как же трудно нашим детям изучать всё это.
    Ответить
    • Инна
      в 10:11

      Да, многим непросто… Для таких детей этот сайт и предназначен.
      Ответить
  3. Олег
    в 12:30

    Интересный у Вас сайт Инна. Я уверен, что ещё и очень востребован будет. Удачи Вам в начинании )
    Ответить
    • Инна
      в 12:44

      Спасибо, Олег! Взаимно!
      Ответить
  4. Андрей Владимирович Минкевич, репетитор по математике
    в 19:06

    Спасибо за отличное объяснение задачи с параметром, очень полезно при подготовке школьников к ЕГЭ по задаче B8.
    Был бы благодарен за ссылку на другие задачи B8 с параметром (их условия); в банке задач все B8 либо с графиком, либо без параметров.
    Ответить
  5. Alena_M
    в 17:04

    Извините, с поправкой. В пункте b) ищем точку КАСАНИЯ прямой (касательной)с графиком функции.
    Спасибо за подробное решение!)
    Ответить
    • Инна
      в 12:10

      Алена, я не оговорилась — составив эту систему уравнений мы как раз ищем общую точку прямой и параболы, В данном случае она также является точкой касания. Спасибо за поправку.
      Ответить
  6. Artem
    в 17:18

    (Рисунка к сожалению нет. Скажите пожалуйста как примерно такое делать. Заранее Спасибо.) Функция y=f(x)определена на интервале (-4;4). На рисунке изображен график её производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y = f(x), которые параллельны прямой y = f(x) или совпадают с ней.
    Ответить
    • Инна
      в 17:33

      Например, прямая имеет вид y=2x+5. Если касательная параллельна этой прямой, то ее к-т наклона равен 2, значит, производная в точке касания равна 2. Ищем на графике производной количество точек, у которых ордината равна 2.
      Ответить
      • Стефания
        в 14:47

        Почему мы взяли прямую именно такого вида? Поясните пожалуйста, а то я ни как не могу понять. Заранее благодарю.
        Ответить
        • Инна
          в 14:54

          Какую прямую мы взяли?
          Ответить
      • Нимтар
        в 11:55

        Боюсь, вы неправильно поняли. Нам не дана функция. Есть только график производной (волна на [-2;6], не пересекающая ось абсцисс). Условие Artem написал слово в слово (очевидно, берём из одного источника). Как быть?
        Ответить
  7. Юрий Шустов
    в 13:29

    Я предложил бы такое решение задачи.
    Пусть (х;y) — координаты точки касания.
    Тогда, если первое уравнение мы получаем, как у Вас, из равенства угловых коэффициентов касательной, то второе уравнение мы получаем из равенства свободных членов касательной:
    -(56x+b)x+28x^2+bx+15=8.
    Тогда 28x^2=7, x=-0,5 или x=0,5. По условию x=-0,5 не подходит.
    Тогда x=0,5 подставляем в первое уравнение 56x+b=-5 и находим b=-33.
    Я бы изменил решение на данное.
    Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *