Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.
Вспомним определение производной:
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции связана с графиком этой функции.
Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.
Итак.
Геометрический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:
Заметим, что угол - это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
В этом уравнении:
- абсцисса точки касания,
- значение функции в точке касания,
- значение производной функции в точке касания.
Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.
Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абcцисcой . Найдите значение производной функции в точке .
Значение производной функции в точке равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В - эти точки выделены на касательной:
Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:
Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Длины катетов считаем по количеству клеточек.
Ответ: 0,25
Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абцисоой . Найдите значение производной функции в точке .
Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:
Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:
Угол А треугольника ABC и угол - смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,
Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.
Ответ: -0,25
Пример 3. Задание В8 (№ 40129) На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .
Соединим отрезком точку начала координат с точкой касания:
Производная функции в точке касания равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ:
Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:
Ответ: 1,25
А если график функции является прямая?К ней ведь нельзя провести касательную
Касательную можно провести только к гладкой кривой.