Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.
Давайте решим уравнение:
Вспомним, что модуль раскрывается по такому правилу:
Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.
Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.
Будем следовать такому алгоритму:
1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:
, 
, 
Мы получили три точки.
2. Нанесем их на числовую ось:
Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:
, 
, 
, 
Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.
3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:
Выражение 
меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Выражение 
меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Выражение 
меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:
Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.
Наше уравнение "распадается" на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.
4. Решим уравнение на каждом промежутке:
1. 
Решение уравнения на первом промежутке
2.Раскроем модули на втором промежутке:
Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть второе равенство верно при любом действительном значении . Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:
.
3. Раскроем модули на третьем промежутке:
Решение уравнения на третьем промежутке:
4. Раскроем модули на четвертом промежутке:
Решение уравнения на четвертом промежутке: 
Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.
5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:
Ответ: -6≤х≤0, х=12
А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:
Не могу сказать, что решение уравнений с модулем, была моя любимая тема в школе, но вспомнила ее с удовольствием. Спасибо.
В видеоуроке при раскрытии второго модуля 3t поменял знак а -4 знак остался прежним, т.е. |3t-4|=-3t-4 очевидная опечатка, которая дальше и не была исправлена…
персмотрел повнимательнее — а там оказалось два раза вносится минус во второй модуль, т.е. в решении ошибки нет!!!
В видеоуроке в этом месте двойная операция оказалась незаметной, т.к. является по умолчанию элементарной.
При решении уравнения с модулем на первом промежутке вы допустили ошубку, когда раскрывали скобки. Должно быть так: -2x+12+x-x+6, а не -6
Ой, я перепутал:)
А куда делось решение уравнения на первом промежутке x=-6? Почему его нет в ответе?
Да ёлки палки, опять не заметил, что в ответы -6 включили! Извиняюсь.
sin=-1 , это ведь 3п/2 а не п/2 !?
sin=-1 x=-pi/2+2(pi)n
Спасибо) Не думал что так быстро ответите)
«Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ». А как вы их объединили ? Ответьте, пожалуйста, у меня завтра ЕГЭ пробное.
Можно нанести все решения на одну координатную прямую и найти промежутки где есть хоть одно решение.
Но у нас же есть промежутки, которые идут друг за другом. Если их объединить, то получится промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности и три ответа: -6, 0, 12. Как вы ваш ответ получили, я не могу понять.
Наносим ответы на каждом промежутке, а не сами промежутки.
Так почему ответ не -6, 0 и 12? При этих же значениях уравнение обращается в верное равенство.
Эти значения включены в ответ.