Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14
В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.
Решим задачу: в единичном кубе 
найдите расстояние от точки 
до плоскости 
.
На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.
Сначала немного теории.
Рассстояние 
от точки 
до плоскости 
вычисляется по такой формуле:
Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:
В нашей задаче роль точки играет точка 
. То есть 
, 
, 
Теперь наша задача найти коэффициенты 
, 
, 
и 
в уравнении плоскости 
.
Плоскость определяется тремя точками 
, 
и 
. Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости , то получим верное равенство.
Коэффициент в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.
Чтобы найти коэффициенты , и , подставим координаты точек , и в уравнение плоскости . Получим систему уравнений:
Отсюда: 
, 
, 
Подставим координаты точки и значения коэффициентов в формулу для расстояния:
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Отличный сайт) Очень помогает!))
У меня правда всегда возникают сложности с подсчетом нормали к плоскости. Допустим, если выходит вдруг , что D=0 для меня это тупик! Подскажите пожалуйста как их считать? Через что можно выражать? Вроде не только через D?
Если плоскость проходит через начало координат, то D=0 — это как если прямая y=kx+b проходит через начало координат, то b=0. Во всех остальных случаях можно принимать D=1
А что делать, если после решения системы, один коэффициент выражен через другой? Например, a=0, b=-c. Как тогда дальше решать?
Выразить и подставить в уравнение плоскости, а потом сократить
Отличный сайт. Удачи Вам и успехов!
У меня в ходе решения аналогичной задачи в системе получилось a+b=0;a+c=0. Как с этим быть?
Выражаем b=-a, c=-a, подставляем в уравнение функции и делим все на а.
А если мы находим методом координат расстояние от точки до прямой в 6 сти угольной призме.мы достраиваем премую до любой плоскости или как?)
Допустим от Точкиb до прямой c1d1????
Я всегда ищу расстояние от точки до прямой геометрическим методом.
Как координатным способом найти расстояние в 6 угольной призме от точки в до прямойC1D1???до какой плоскости нужно достроить прямую????
Все коэффициенты получаются по нулям.
Что делать?
Проверьте еще раз. Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то нужно два коэффициента выразить через третий, подставить в уравнение и потом разделить на этот коэффициент.