Задание 14. Точки и - середины ребер и куба соответственно.
Докажем перпендикулярность прямых и с помощью метода координат. Введем систему координат и докажем перпендикулярность векторов и .
Вектора и - направляющие вектора прямых и . Если направляющие вектора прямых перпендикулярны, то перпендикулярны и сами прямые.
Пусть сторона куба равна . Запишем координаты точек:
Теперь найдем координаты векторов и (чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора вычитаем координаты начала):
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов и . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Итак, , следовательно, , отсюда
б) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной прямой .
Прямая перпендикулярна плоскости, если он перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Проведем в грани прямую , перпендикулярную . Поскольку (из доказанного) и (по построению), перпендикулярна плоскости, содержащей прямые и .
Проведем эту плоскость:
Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей параллельны. Так как основания куба параллельны, . Следовательно, точка - середина ребра .
, , следовательно, четырехугольник - параллелограмм.
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
Ребро перпендикулярно грани , следовательно, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой грани, в частности, прямой . То есть . Следовательно, сечение - прямоугольник.
Найдем площадь сечения.
По условию, ребро куба равно 4.
Тогда по теореме Пифагора из треугольника
Отсюда
Ответ:
Добавить комментарий