Расстояние между двумя прямыми. Метод координат. Задание С2


В этой статье я хочу показать решение  задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми, которую мы уже решали геометрическим способом, но теперь с помощью метода координат. Я специально показываю решение одной задачи разными способами, чтобы у вас была возможность выбрать наиболее удобный для вас.


Итак,  аналитический  способ решения задачи:

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и CB_1:

Как мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми AB и CB_1 есть расстояние от точки  M , которая является серединой отрезка AB до плоскости A_1B_1C:

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

rho=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае  призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки M   и точек A_1,  B_1 и C, задающих плоскость A_1B_1C вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

Запишем координаты нужных нам точек:

A_1(0;-{1/2};1)

B_1(0;{1/2};1)

C({sqrt{3}}/2;0;0)

M(0;0;0)

Чтобы найти коэффициенты  a,   b,  c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости A_1B_1C, примем коэффициент d=1, и подставим координаты точек A_1,  B_1 и C в уравнение плоскости. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a-{1/2}b+c+1=0} {0*a+{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{-{1/2}b+c+1=0} {{1/2}b+c+1=0} {{sqrt{3}}/2{a}+1=0}}}{ }

Отсюда:

a=-2/{sqrt{3}},

b=0,

c=-1

Подставим значения коэффициентов и координаты точки M(0;0;0) в формулу для расстояния. Получим:

rho=delim{|}{{-2/{sqrt{3}}}*0+0*0+{-1}*0+1}{|}/{sqrt{{-2/{sqrt{3}}^2+0^2+{-1}^2}}=1/{{4/3}+1}=sqrt{3/7}=sqrt{21}/7

Ответ: sqrt{21}/7 

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Другие записи из категории "C2 (2014)":

Отзывов (12)

  1. Добрый день! Я встречал много разных сайтов и читал на них статьи, но у вас мне очень понравилось. Сразу видно, что вы с душой занимаетесь любимым делом и создаете свои статьи с нужной информацией для простых людей и для их потребностей. Ведь это самое главное. Я желаю вам сохранять веру в исполнение своей мечты.

  2. Хочу выразить благодарность за статью!

  3. Алексей:

    Здравствуйте! Отличный сайт, объяснения просто шикарные.
    Хотел бы спросить, как быть, если нужно найти расстояние от точки до прямой методом координат? Ведь формула только позволяет найти расстояние от точки до плоскости.
    Спасибо!

  4. Фёдор:

    расстояние от точки до прямой – это abs(ax+by+c)/sqrt(a^2+b^2)

  5. Юлия:

    Если направляющий вектор прямой l есть вектор s, точка М_1 лежит на прямой l, и требуется найти расстояние от точки М_0 до прямой l, то искомое расстояние равно d=abs(M_1M_0xs)/abs(s). Т.е. в числителе модуль векторного произведения векторов М_1М_0 на s, а в знаменателе модуль направляющего вектора s. Модуль векторного произведения распишем и получим формулу, в которую можно подставить данные и посчитать искомое расстояние без терминов высшей математики. Формула есть. Но большая и сложная для школьников.

    • Инна:

      Можно сделать проще. Пусть нужно найти расстояние от точки М до прямой АВ. Найти косинус угла между прямой АВ и прямой МА, потом найти синус этого угла, умножить его на АМ и получим искомую высоту.

  6. Дант:

    Здравствуйте! Я иногда не понимаю – зачем уравнение плоскости пытаются найти чисто из системы уравнений. Записав определитель матрицы, можно намного проще это сделать.

    • Инна:

      Разумеется, но нахождение определителя – это отдельная тема. Как правило, в школе определители не проходят.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>