Угол между плоскостями. Метод координат. Задание 14

Угол между плоскостями. Метод координант.

В этой статье я расскажу, как решать задачи на нахождение угла между плоскостями с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары равных между собой двугранных углов.

Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно  линии пересечения плоскостей. Угол, образованный  этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Пусть наши плоскости   и заданы уравнениями:

: 

: 

Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Решим задачу, которая была предложена на пробнике для подготовке к ЕГЭ 17 марта 2012 года.

В правильной четырехугольной призме  со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре  взята точка М так, что . На ребре взята точка K так,  что . Найдите угол между плоскостью  и плоскостью .

Сделаем чертеж. Так как мы будем использовать метод координат, сразу введем систему координат:

Теперь перед нами стоит задача написать уравнения плоскости и плоскости

Подробный алгоритм нахождения уравнения плоскости  по трем точкам  я описывала здесь.

После того, как мы найдем коэффициенты в уравнениях плоскости  и плоскости , подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол.

Предлагаю вам посмотреть подробное видеорешение этой задачи:

КУПИТЬ видеокурс "Векторы и координаты. Часть В  и Задание 14"

И.В. Фельдман, репетитор по математике.