Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Май 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1

В этой статье мы рассмотрим еще один тип тригонометрических уравений - уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x}.

Разберем подробно решение такого уравнения:

4-4(cos{x}-sin{x})-sin{2x}=0

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x} решаются по стандартной схеме.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

4-4(cos{x}-sin{x})-2sin{x}cos{x}=0

Введем замену переменной. Обозначим t=cos{x}-sin{x}. Теперь наша задача выразить  sin{x}cos{x} через t.

Поступим так: возведем  выражение t=cos{x}-sin{x} в квадрат. Получим:

t^2=cos^2{x}-2sin{x}cos{x}+sin^2{x}=1-2sin{x}cos{x}

Отсюда 2sin{x}cos{x}=1-t^2 

Введем замену: 4-4t-(1-t^2)=0

Решим квадратное уравнение:

t^2-4t+3=0

Сумма коэффициентов уравнения равна нулю, следовательно, t_1=1,  t_2=3

Вернемся к исходной переменной. Теперь нам надо решить два уравнения:

cos{x}-sin{x}=1 и cos{x}-sin{x}=3.

Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла,

Начнем с уравнения cos{x}-sin{x}=1

Вынесем за скобку sqrt{2}:

sqrt{2}({1/{sqrt{2}}}cos{x}-{1/{sqrt{2}}}sin{x})=1

(1/{sqrt{2}}=sqrt{2}/2=sin({pi}/4)= cos({pi}/4))

Разделим обе части уравнения на  sqrt{2}, получим в итоге

 sin({pi}/4)cos{x}-cos({pi}/4)sin{x}=sqrt{2}/2

sin({pi}/4-x)=sqrt{2}/2

 {pi}/4-x={pi}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}  или  {pi}/4-x={3{pi}}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}

Отсюда x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

Рассмотрим второе уравнение: cos{x}-sin{x}=3

Используем выполненные преобразования, получим:

sin({pi}/4-x)=3/{sqrt{2}} 

Очевидно, что  3/{sqrt{2}}>1 , поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

А теперь я предлагаю вам самостоятельно решить задание:

Решите уравнение 5sin{2x}-11(sin{x}+cos{x})+7=0. В ответе укажите множество решений, принадлежащих промежутку delim{[}{0;{pi}}{]}

и сверить свое решение с ВИДЕОУРОКОМ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1
| Отзывов (31)

Отзывов (31)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Полина
    в 05:45

    здравствуйте, Инна Владимировна, подскажите пожалуйста, могу ли я решить уравнение типа 4cos^x +3sin^x + 7sinxcosx=0
    разделив на cos^x ( далее через дискриминант) и чтобы не потерять корни подставить cosx=0 в уравнение и проверить не является ли данный случай корнем уравнения? могу ли я таким способом решать и другие уравнения ?
    ( ^ имею ввиду квадрат )
    заранее благодарю !
    Ответить
    • Инна
      в 07:00

      Это однородное уравнение, его можно так решать. Уравнения других типов решаются другими способами.
      Ответить
  2. Елена
    в 14:19

    здравствуйте, хотела бы узнать можно ли cosX=sinX, решить так cos(x)=sqrt(1-cos^2(x))и возвести все в квадрат (не появятся ли лишние корни)? или нужно выражение поделить на cosX? заранее благодарю
    Ответить
    • Инна
      в 14:44

      нужно выражение поделить на cosX
      Ответить
      • Елена
        в 16:34

        огромнейшее СПАСИБО!!
        Ответить
  3. Алексей
    в 09:06

    решите пожалуйста уравнение sinX=cosX
    Ответить
    • Инна
      в 15:18

      Делим обе части уравнения на cosX, получаем tgx=1.
      Ответить
  4. Вадим
    в 21:18

    Подскажите, пожалуйста, как решить это уравнение :

    (cosx — 1)/cosx + 2ctgx * sinx = 0 ?
    Ответить
    • Инна
      в 11:08

      1. ОДЗ: cosx не равно 0, sinx не равно 0
      Преобразуем:
      1-1/cosx +2cosx=0
      Вводим замену: cosx=t
      Ответить
  5. Сергей
    в 07:01

    Можно было не заморачиваться с введением вспомогательного угла (или т.н. нормированием). После того, как нашли sin x — cos x, подставьте их в исходное уравнение и получите значение для sin x * cos x. В данной задаче 0 получается, а в общем виде — по т-ме Виета. И вообще, дополнительный угол хорош только если коэфициенты перед sin и cos разные, а в данном случае достаточно перейти к симметричной системе заменой sin +- cos = u sin * cos = v, добавив к имеющейся системе уравнение u**2=1+-2v и далее по Виета
    Ответить
    • Инна
      в 10:24

      Спасибо!
      Ответить
  6. Виорика
    в 08:40

    Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить уравнение sinXcosX/sin^2X-cos^2X, если tgX=3/4
    Ответить
    • Инна
      в 11:24

      Здесь нужно найти значение выражения. Сначала его преобразуем.


      Теперь подставить значение тангенса в последнее выражение.
      Ответить
  7. катя
    в 19:54

    синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 0,6. найдите косинус угла пр вершине этого треугольника. Помогите пожалуйста.
    Ответить
    • Инна
      в 09:31

      Синус внутреннего угла равен синусу внешнего. То есть синус вн. угла равен 0,6. Тогда косинус этого угла равен

      Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *