Решение комбинированных неравенств методом интервалов
В этой статье я расскажу, как решать неравенства вида 
V
, где P(x) и G(x) - произвольные функции, а V - один из знаков >, <, ≥ или ≤.
Принцип решение этих неравенств практически идентичен решению рациональных неравенств методом интервалов с одним важным отличием: после того, как мы нанесем корни на числовую ось, НЕОБХОДИМО УЧЕСТЬ ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ неравенства, и затем расставить знаки.
Собственно, и вся премудрость.
Решим неравенство:
Начнем с нахождения ОДЗ.
Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, и знаменатель дроби не может быть равен нулю. Получим систему неравенств:
Вспомним об этой системе чуть позже.
Теперь нам нужно найти точки, в которых выражение, стоящее в левой части неравенства меняет знак - это нули числителя и знаменателя.
Чтобы их найти, нам нужно решить два иррациональных уравнения:
и 
Решим первое уравнение. Оно равносильно системе:
Решим первое уравнение системы:
. Корень этого уравнения 
удовлетворяет условию 
.
Внимание! Корень х=3 - корень четной кратности. В этом месте нужно быть внимательными - в корнях четной кратности функция знак не меняет.
Решим второе уравнение . Оно равносильно системе:
Решим первое уравнение системы:
. Корни этого уравнения 
и 
удовлетворяют условию 
.
Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось. Вспомним, что точки, соответствующие корням знаменателя мы всегда "выкалываем" (тем самым мы учтем последнее условие ОДЗ), а корни числителя в случае нестрогого неравенства закрашиваем:
Теперь самое время вспомнить об ОДЗ. Оно представляет из себя систему неравенств:
Последнее условие системы мы учли, "выколов" нули знаменателя. Первые два условия: 
и 
Учтем их:
Теперь нужно аккуратно расставить знаки. В нашем случае знаки не столь очевидны, как при решении рациональных неравенств.
Возьмем число, больше большего корня, например, 10. (Мы можем это сделать, так как х=10 принадлежит ОДЗ неравенства) Подставим число 10 вместо х в левую часть неравенства, и выясним, какой знак она принимает в этой точке.
Получим:
Числитель и знаменатель дроби отрицательны, поэтому вся дробь больше нуля, т.е. левая часть неравенства при х=10 больше нуля. Теперь расставим знаки, учитывая, что в точке х=3 смены знака не происходит.
Нас интересует промежуток, где выполняется условие ≥0.
Внимание! В случае нестрогого неравенства условие равенства нулю проверяем отдельно, то есть при записи ответа не забываем х=3.
Ответ: [
)
{3}
И, в заключение, я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением неравенства
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
И, в заключение, я предланаю вам посмотреть видеоурок с решением неравенства
Исправила 🙂
в ответе (1/2;0). Этого не может быть.Правильно — (1/2;1)
Александр, по-моему мне уже пора вам платить зарплату. 🙂 Спасибо, исправила.
В ответе написано (1/2…
должно быть: [1\2…
10х-5>=0
10x>=5
x>=0,5
Знак неравенства нестрогий, а значит число входит в область определения
Проверяем: Корень(10*0,5-5)-0,5-2=-2,5
корень(7*0,5-3)-0,5-1=0,7-1,5=-0,8
Числитель и знаменатель дроби отрицательные, значит частное положительное.
Спасибо, исправила
В видеоуроке вы записали неравенство со знаком меньше или равно, хотя выше написано, что знак неравенства больше или равно.
🙂 Побольше бы мне таких внимательных читателей.