Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ по математике :
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение:
Решение. Мы видим, что исходное уравнение содержит два выражения под знаком модуля. Поэтому первая задача - раскрыть модули.
Возможны четыре случая:
1. 
2. 
3. 
4. 
Рассмотрим каждый случай:
1.
Оба подмодульных выражения неотрицательны, следовательно оба модуля раскрываем с тем же знаком:
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо:
Теперь оценим выражения в правой и левой частях уравнения, для этого сначала в правой части выделим полный квадрат:
Оценим левую часть уравнения:
Итак, левая часть уравнения больше или равна 25.
Рассмотрим правую часть уравнения:
. Мы видим, что из числа 25 мы вычитаем два неотрицательных выражения: 
и 
( в рассматриваемом случае 
), следовательно, правая часть уравнения меньше или равна 25.
Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если 
и 
Мы получили первое решение: при уравнение имеет единственный корень .
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
2.
Первое подмодульное выражение раскрываем с тем же знаком, а второе - с противоположным:
Левая часть уравнения больше или равна 25, правая часть уравнения меньше или равна 25.
Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если и 
Мы получили второе решение: при уравнение имеет единственный корень .
Совершенно аналогично рассматриваются третий и четвертый случаи. Рассмотрите их самостоятельно.
Третье решение: при уравнение имеет единственный корень .
И четвертое решение: при уравнение имеет единственный корень .
Ответ: {-5;5}
Здравствуйте! Мне кажется, вы ответили на вопрос когда уравнение имеет единственное решение, а вопрос стоит — когда имеет хотя бы 1 решение, т.е. одно или несколько. Тогда у нас должны получиться промежутки параметра а. Для этого правую часть брать тоже >=25.
Уважаемая Инна. Ваше решение крайне нерациональное. Эту задачу можно решить почти устно. Рассмотрим две функции: y1=5*sqrt(x^2+25) и вторую. y2=-6*(в модуле х)-3х+2*(в модуле(х-5а).
Очевидно, что х=0 — точка минимума функции y1. Очевидно, что функция y2 — кусочно линейная и имеет максимум в точке х=0. (поскольку при угловой коэффициент (+или-)6 будет определяющим при любом раскрытии модулей. Следовательно, уравнение имеет решение, если y1(0)<=y2(0). Получим неравенство 25<=2*(в модуле а) — a^2. Решение {-5, +5}
Спасибо за решение)
Да ,задачка решается графически почти устно.!!
Галина, буду рада, если Вы приведете свое решение!
Добрый день Инна Владимировна Если можно натолкните пожалуйста как можно решить данный пример: найти все значения параметра а при котором неравенство выполняется для любого | х+1|+2|х+а|>3-2х
Можно графически:
| х+1|-3+2х>2|х+а|
Построить график левой части. Затем график функции у=2|x| двигать вдоль оси ОХ
Добрый день!
Помогите разобрать решение схожего задания, но когда предложенный вами метод (с использованием ограничений на левые и правые части) уже не работает:
a^2+ 7|x+1|+5*sqrt(x^2+2x+5)=2a+3|x-4a+1|
Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.
Заранее спасибо.
Пусть t=x+1
Получаем уравнение a^2+ 7|t|+5*sqrt(t^2+4)=2a+3|t-4a|
Раскроем модули.
Первый случай: t больше или равно 0 и t больше или равно 4a
На этом промежутке: a^2+ 7t+5*sqrt(t^2+4)=2a+3t-4a
Сгруппируем, получим (a+5)^2+5sqrt(t^2+4)=25-4t
левая часть больше или равна 35. Чтобы были корни, правая часть должна быть больше или равна 35.
25-4t больше или равно 35 или t меньше или равно 2,5
Получили систему:
t больше или равно 0
t больше или равно 4a
t меньше или равно 2,5
Отсюда выразить а для первого случая
2a+3|t-4a|=2a+3t-4a?
По-моему вы ошиблись малость 🙂
Да, ошиблась