В предыдущей статье мы рассмотрели, как сокращать, умножать и делить алгебраические дроби.
Теперь рассмотрим более сложное, с моей точки зрения, действие - сложение алгебраических дробей.
Мы умеем складывать дроби с одинаковым знаменателем: при сложении дробей с одинаковым знаменателем, знаменатель остается тем же, а числители складываются:
А еще мы знаем основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.
То же относится к алгебраическим дробям: мы можем умножать и делить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение. (При этом не забываем про ОДЗ).
Значит, если мы складываем две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели этих дробей стали одинаковыми, то есть привести дроби к общему знаменателю.
Сначала рассмотрим алгоритм приведения к общему знаменателю числовых дробей, а затем обобщим его на случай алгебраических.
Пример 1:
Найти значение выражения:
1. Найдем общий знаменатель. Для этого нам нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей (НОК(135; 63;75)), то есть найти самое маленькое число, которое делится на знаменатель каждой дроби.
Если знаменатели дробей взаимно простые числа, то есть не имеют общих делителей, кроме числа 1 (например, числа 9 и 4), то общий знаменатель равен произведению знаменателей. Но это не наш случай.
Первый, самый главный шаг, который мы делаем, чтобы найти общий знаменатель -
раскладываем на простые множители знаменатель каждой дроби:
Общий знаменатель равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.
То есть общий знаменатель равен
2. Найдем дополнительные множители.
Дополнительный множитель - это число, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. (Напомню, что при приведении дробей к общему знаменателю, мы числитель и знаменатель дроби умножаем на это число.
3. Умножим числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
4. Найдем значение получившейся дроби:
Применим этот алгоритм для приведения к общему знаменателю алгебраических дробей.
Пример 2.
Упростить выражение:
1. Разложим знаменатель каждой дроби на множители:
Заметим, что 
. Вынесем за скобку знак "-" в знаменателе последней дроби:
2. Запишем общий знаменатель. Он равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.
3. Найдем дополнительные множители. Дополнительный множитель - это выражение, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель.
4. Запишем произведение числителя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:
Не стоит пропускать это действие и сразу начинать умножать числители на дополнительные множители - это может привести к появлению ошибок.
5. Упростим выражение в числителе получившейся дроби - раскроем скобки и приведем подобные члены.
Заметим, что перед произведением двух последних скобок стоит знак "-". В этом случае, чтобы не ошибиться со знаками, лучше разделить это действие на два: сначала перемножить скобки, заключив полученное выражение в скобки, а затем раскрыть скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:
Теперь приведем подобные члены. Подобные члены - это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.
Чтобы привести подобные члены, мы должны сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
Выделим подобные члены одинаковым цветом. 
Итак,
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий