В этой статье вы найдете пошаговые решения прототипов задач из Задания 26 ОГЭ по математике (№ 324599 - № 324602)
No 324599
В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла и пересекается с диагональю в точке .
Найдите , если известно, что около четырёхугольника можно описать окружность, , .
Решение.
показать
Докажем, что треугольники и подобны по двум углам.
Обозначим равные углы одинаковыми буквами:
, так как - биссектриса. Следовательно, дуга равна дуге , и равны соответствующие хорды: .
Тогда как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги.
Тогда треугольники и подобны по двум углам.
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда
Ответ: 7.
№ 324600
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение.
показать
№ 324601
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основанию . Окружность проходит через точки и и касается прямой в точке . Найдите расстояние от точки до прямой , если .
Решение.
показать
[spoiler]
Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на .
Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке и опустим перпендикуляр на основание :
Рассмотрим треугольники и :
Эти треугольники подобны по двум углам ( как соответственные.)
Запишем отношения сходственных сторон:
Пусть , тогда :
Теперь воспользуемся теоремой о касательной и секущей и выразим касательную через .
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то есть:
Теперь рассмотрим треугольники и . Они подобны по двум углам (треугольники прямоугольные, и - общий)
Запишем отношения сходственных сторон:
Отсюда
Ответ:
№ 324602
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, и . Касательная к описанной окружности треугольника , проходящая через точку , пересекает прямую в точке . Найдите .
Решение.
показать
Докажем вспомогательное утверждение:
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой:
Пусть угол межд хордой и касательной, проведенной в точке равен . Докажем, что
Рассмотрим треугольник .
- касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в току касания.
Тогда .
Следствие: острый вписанный угол, опирающийся на хорду равен :
Используем это утверждение в нашей задаче.
Следовательно, треугольник подобен треугольнику по двум углам.
Пусть
Запишем отношения сходственных сторон:
По свойству биссектрисы
То есть
По свойству касательной и секущей
То есть
Получили систему уравнений, из которой нам надо найти :
Из первого уравнения выразим через и подставим во второе уравнение.
Решим второе уравнение:
Раскроем скобки и умножим обе части на 16. Получим:
Первый корень не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 12.
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
Решение задачи 324599, предложенное Любовью Ревиной: //ege-ok.ru/wp-content/uploads/2016/01/599-e1453791372233.png
Решение задачи 602, предложенное Галиной Шереметьевой:
//ege-ok.ru/wp-content/uploads/2016/01/22-1.png
Инна, добрый день! А как насчет неоднозначности чертежа задачи 601?
http://hostingkartinok.com/show-image.php?id=e6b5578e92ad1277e905a7fb4f3ef8d2
Я начертила аж 4 варианта возможных событий.
Вот я начертила
почему другие не рассматриваются, особенно вариант Г), где точка Е лежит вне отрезка АВ.
Тогда, если сравнить мои варианты Б) и Г) — там расстояния точно различные до прямой СД — точка Е на одном и том же месте, а Д симметрично относительно центра, но по разные стороны от центра окружности.
Расположение центра окружности относительно прямой CD никак не влияет на решение.
а как сделать вывод об этом? Мне кажется, что расстояния на рисунке Б и Г — точно различные (ну на вид), и линии там разные, я имею ввиду построение.
В решении используется только подобие треугольников.
И теорема о касательной.
В середине решения задачи 324600 рассматриваются подобные треугольники BSC и ASD, но при написании пропорции берётся отношение высот треугольников KS/SM, а не сторон, как положено по определению подобия треугольников. Почему так можно делать?
В подобных фигурах пропорциональны все сходственные элементы: стороны, высоты, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей..
Инна, у меня завтра ОГЭ по математике, помогите, пожалуйста )). Допустимо ли такое в написании, что в подобных фигурах пропорциональны высоты, медианы и тд. ????
В подобных фигурах пропорциональны все сходственные элементы.
Зачем такое сложное решение задачи № 324602?? Могу решить в два раза легче
Это было бы здорово!
Зачем такие грамоздкие решения задач № 324602 и № 324601?? их можно решить в 5 раз легче
Если вы пришлете свое решение, будет здорово!
Спасибо за решения задач, надеюсь завтра на огэ то же получится решить 26 номер !
Удачи тебе на экзамене!