Решение.
а) Достроим трапецию до прямоугольного треугольника:
Докажем, что треугольник подобен треугольнику . Угол - общий угол этих треугольников. В подобных треугольниках против сходственных сторон лежат равные углы. Если мы докажем, что , то тем самым мы докажем подобие треугольников и по двум сторонам и углу между ними, и равенство углов и .
Рассмотрим треугольники и - это прямоугольные треугольники с общим углом . Следовательно, они подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен . И пусть . Тогда :
Помним, что нам надо доказать равенство .
В прямоугольном треугольнике отрезок - высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике , тогда
Отсюда
В прямоугольном треугольнике отрезок - высота. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике , тогда
Отсюда
Мы доказали равенство , следовательно, треугольники и подобны и . Следовательно, прямые и параллельны.
2 способ доказательства п. а).
Рассмотрим четырехугольник :
, следовательно, и около четырехугольника можно описать окружность:
По свойству вписанных углов .
Аналогично можно описать окружность около четырехугольника . По свойству вписанных углов :
, следовательно, по свойству накрест лежащих углов , то есть и , отсюда следует, что прямые и параллельны.
б) Найдем отношение .
Так как треугольники и подобны, .
По условию угол , следовательно, угол.
Следовательно, треугольники и - равнобедренные, , отсюда .
Ответ:
Вы не ищите в своих решениях лёгких путей) Но к чему тут теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике? Не уверен даже, что она в образовательный стандарт входит, и что её не надо доказывать на ЕГЭ. Всё же из подобия получается.
Согласна, не самое простое решение. Но теорема о пропорциональных отрезках таки входит в образовательный стандарт)
Спасибо. Да, я вспомнил, это же про среднее геометрическое)