В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.
Перед нами уравнение четвертой степени.
Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.
Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Пусть выполняется равенство:
Здесь 
-целые числа.
Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях 
и получим систему уравнений:
Без ограничения общности можем считать, что 
, тогда пусть 
, отсюда 
или 
.
Рассмотрим два случая:
,
Получим систему уравнений:
Из второго и третьего уравнений получаем 
- что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.
2. ,
Из второго и третьего уравнений получаем 
- и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.
Получили: 
Тогда наше разложение имеет вид:
Осталось приравнять квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:
Ответ: ,
А с чего мы взяли, что a=1 или k=2? Может a=1/2 а k=4?
Коэффициенты — целые числа.
Здравствуйте. ( Без ограничения общности можем считать, a > 0 и k > 0). Почему ( a k ) не могут быть отрицательны?
Например, мы можем разложить на множители 2x^2-x-1 как (2x+1)(x-1) или как (-2x+1)(-x+1) — но по сути это одно и то же.
Объясните пожалуйста, почему, если мы считаем, что а>0 k>0, то с и n могут быть меньше 0? Можно ли считать, что с>0 n>0, а (а и k) не подчиняются этому условию?
ak=2. Эти коэффициенты имеют одинаковые знаки. Знаки остальных коэффициентов зависят от знаков a и k, так как мы можем обе скобки умножить на -1, и поменяются знаки всех коэффициентов.
Да, можно считать, что с>0 n>0, а (а и k) тогда зависят от знаков с и n.
Здравствуйте, можно решить этим методом уравнение x^4-14*x^3+66*x^2+448*x-1568 =0, коэффициенты большие
Да, можно. Получится четыре неизвестных. (старшие коэффициенты в каждой скобке равны 1).
Здравствуйте!
можно ли этим методом решить уравнение 3x^3+3x^2+3x+1=0 ?
Можно.
Добрый день, Инна. Подскажите можно ли данным методом разложить на множители следующий многочлен:
(x^6)*a+(x^5)*b+(x^4)*c+(x^3)*d+(x^2)*e+x*f+g, где a,b,c,d,e,f,g — это варьируемые коэффициенты. Если нет, то посоветуйте другой способ. Спасибо.
То есть решить в общем виде? Или для каждого конкретного набора коэффициентов? Если последнее, то можно представить, например, в виде произведения трех квадратных трехчленов.
Решить в общем виде. Т.е. не зная точно чему равны коэффициенты перед х. Соответственно, здесь не получиться принять искомые коэффициенты за конкретное число и затем искать остальные (как это сделано в вашем примере). Как быть в этом случае?
Юрий, я не знаю, как решать в общем виде.
Добрый день. Если я правильно понял, то если произведение cn не равно единице, то необходимо рассматривать уже не два случая. Например если произведение cn=2, то необходимо рассмотреть уже 4 случая:
1) с=2, n=1
2) c=1, n=2
3) c=-1, n=-2
4) c=-2, n=-1
Если cn=6, то необходимо рассмотреть уже 8 случаев:
1) с=6, n=1
2) c=3, n=2
3) c=2, n=3
4) c=1, n=6
5) c=-1, n=-6
6) c=-2, n=-3
7) c=-3, n=-2
8) c=-6, n=-1
Я прав?
Не правы. Если cn=2, то 1 и 2 случаи — это один случай, только многочлены в 1 и 2 скобке меняем местами.
Тогда 3 и 4 случаи это тоже один случай? При решении уравнения 2*x^4+7*x^3+x^2-8*x+2=0 у меня получилась такая ситуация, что при с=-1 n=-2 получается система не имеющая решения:
l+2*b=7
b*l=5
2*b+l=8
третье уравнение системы сокращается до 7=8. А вот при с=-2, n=-1 получается система имеющая решение:
l+2*b=7
b*l=6
b+2*l=8
b=2, l=3
3 и 4 тоже один случай. Проверьте еще раз ваше решение.
Я не обнаружил ошибок
Система
Случай c=-1, n=-2
Случай с=-2, n=-1
что является ответом и что мы должны делать после того как нашли знаки тип A B я непонял что делать после этого
Прочитайте еще раз. Ответ найден.