В этой статье вы найдете решение задачи по стереометрии из тренировочной работы №164 А. Ларина.
Решение.
а) Докажем, что прямая перпендикулярна плоскости .
по свойству диагоналей ромба. - проекция наклонной , тогда по теореме о трех перпендикулярах
Докажем, что
Сделаем выносной чертеж и введем систему координат:
Докажем, что
Найдем координаты точек:
Так как ,
. Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычитаем координаты начала. Тогда координаты вектора
; .
Найдем скалярное произведение векторов и . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:
Скалярное произведение равно нулю, следовательно,, отсюда
Итак, доказали, что и, следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
б) Найдем объем пирамиды .
Из п. а) следует, что - высота пирамиды . Найдем длину отрезка .
Треугольник подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:
Тогда
Найдем площадь основания пирамиды , то есть площадь треугольника . , следовательно,
Отсюда
Ответ: 54
Спасибо.