В этой статье мы рассмотрим решение сложной системы неравенств, которая, при ближайшем рассмотрении, решается очень просто.
Начнем решение системы со второго неравенства.
Если мы введем замену , то получим неравенство
.
Но сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2. Причем равенство достигается, если числа равны 1. Отсюда
Следовательно, при
Теперь нам надо решить уравнение:
Уравнение вида равносильно совокупности условий:
, при условии, что существует
или
, при условии, что
Для нашего уравнения получим совокупность:
1.
или
, ,
, ,
2. ,
При .
Итак, решения второго неравенства исходной системы , , .
Теперь осталось проверить, какие из решений второго неравенства удовлетворяю первому неравенству.
Подставим каждое значение в первое неравенство:
- не верно.
-
-не верно
- верно.
Итак, нам подходит только
Ответ: {}
Как всегда — ЗАМЕЧАТЕЛЬНО! Знаю учителя, который любит повторять:» Математика наука ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ, в ней надо уметь ЗАМЕЧАТЬ!» Вы это умеете!
Спасибо)))
Красивое и лаконичное решение! СПАСИБО за такое решение!
ОГРОМНОЕ ВАМ СПАСИБО ЗА ВАШИ ЧЕЛОВЕЧЕСКИЕ КАЧЕСТВА (КРОМЕ ТАЛАНТА В МАТЕМАТИКЕ). ВЫ УМЕЕТЕ ДЕЛИТЬСЯ. ВО ВСЕ ВРЕМЕНА ЭТО САМОЕ ЦЕННОЕ.
Спасибо)
Уважаемая Инна Владимировна! Решение аналогичной системы неравенств другим методом ( методом замены множителей ) приведено в книге авторов З.Л.Коропец, А.А.Коропец, Т.А.Алексеева «Нестандартные методы решения неравенств и их систем», размещенной на сайте А.Ларина. См. стр.120. Сам. работа см. стр.124, пример 7. Если Вам будет интересно, посмотрите. С уважением Зина.
Спасибо, Зина. Я давно присматриваюсь к методу замены множителей, но все-таки обобщенный метод интервалов мне нравится больше. Кстати, эта книжка есть у меня на сайте в библиотеке.