7. Дан прямоугольный параллелепипед с боковыми ребрами . На ребрах нижнего основания отмечены соответсвенно точки , таким образом, что ,, ,. Пусть - центры сфер, описанных около тетраэдров , соответственно. Найдите , если известно, что и .
Центр сферы, описанной около тетраэдра равноудален от его вершин. То есть центр сферы лежит на пересечении серединных перпендикулярах к ребрам тетраэдра. Тетраэдры содержат боковые ребра параллелепипеда , серединные перпендикуляры к боковым ребрам параллелепипеда лежат в плоскости, перпендикулярной боковым ребрам. Поэтому центры сфер, описанных около этих тетраэдров лежат в плоскости, которая перпендикулярна боковым ребрам параллелепипеда и проходит через середины этих ребер. То есть в плоскости, параллельной основаниям параллелепипеда.
Кроме того, центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на прямой, которая перпендикулярна грани тетраэдра и проходит через центр окружности, описанной около этой грани.
Рассмотрим тетраэдр . Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы этого треугольника, то есть в середине отрезка . Пусть это точка . Центр сферы, описанной около тетраэдра лежит на прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку . И одновременно на серединном перпендикуляре к ребру :
Аналогично построим точки - центры сфер, описанных около тетраэдров :
Точки - проекции точек соответственно на плоскость .
Точка - середина отрезка , точка - середина отрезка .
Поскольку плоскость, проходящая через точки параллельна плоскости , расстояния между точками равно расстоянию между точками соответственно.
По условию . Пусть , .
Сделаем выносной чертеж:
Расстояние между точками и по условию равно 1. Введем систему координат с началом в точке и найдем расстояние между точками и .
Координаты точек:
; ; .
Координаты векторов:
;
; Отсюда ,
Ответ:
Добавить комментарий