Решение задачи по стреометрии из ДВИ в МГУ 2019.
Сделаем чертеж:
Без ограничение общности можем считать, что плоскость проходит через вершины .
Центр сферы лежит в точке пересечения диагоналей параллелепипеда, в точке . По условию, шары расположены по разные стороны от плоскости , вписаны в сферу и имеют максимальный радиус. Следовательно, шары касаются сферы и плоскости , и центры шаров лежат на прямой, проходящей через центр сферы перпендикулярно плоскости . То есть так:
Здесь отрезок - диаметр сферы, перпендикулярный плоскости, точка - точка пересечения диаметра и плоскости . При другом расположении шаров, они будут иметь меньший радиус:
Отношение радиусов шаров равно .
Воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке :
Теперь наш план решения таков:
- Найдем координаты точки и радиус сферы.
- Найдем уравнение плоскости .
- Найдем расстояние от точки до плоскости , то есть длину отрезка .
- Найдем отношение .
Итак:
1. Так как точка - точка пересечения диагоналей параллелепипеда, то есть является серединой диагоналей, координаты точки .
Радиус сферы равен половине длины диагонали параллелепипеда, то есть
2. Ищем уравнение плоскости . Так как плоскоть проходит через начало координат, в общем виде ее уравнение имеет вид , где - координаты вектора нормали к плоскости.
Плоскость проходит через точки и .
Подставим координаты точек в уравнение плоскости:
, отсюда
, отсюда
Подставим в уравнение плоскости:
Раделим обе части на , и получим уравнение плоскости :
3. Найдем длину отрезка .
Вспомним формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
Итак, так как радиус сферы равен , имеем:
4. Найдем отношение .
;
Ответ:
Добавить комментарий