Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-31

Главная » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Как найти производную. Таблица производных

31 Янв 2012

ПРОИЗВОДНАЯ

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

{ f} prime(x)=g(x)

В этом равенстве f(x) - функция, от которой мы берем производную,

g(x) - функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

{(C)}prime=0

2. Производная степенной функции:

${(x^n)}prime=nx^{n-1}$

Заметим, что может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1. ${(x^5)}prime=5x^4$

2. ${(1/{x^4})}prime={(x^{-4})}prime=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

3. ${(1/{root{3}{x}})}prime={(x^{-1/3})}prime={-1/3}x^{{-1/3}-1}=-{x^{-4/3}}/3$

3. Производная показательной функции:

${(a^x)}prime={a^x}ln{a}$

Пример.

${(3^x)}prime={3^x}ln{3}$

Частный случай этой формулы:

${(e^x)}prime={e^x}$

4. Производная логарифма:

${(log_{a}x)}prime=1/{xlna}$

Частный случай этой формулы:

{(ln{x})}prime=1/x

5. Производные тригонометрических функций:

{(sinx)}prime=cosx

{(cosx)}prime=-sinx

${(tgx)}prime=1/{cos^2{x}}$

${(ctgx)}prime=-1/{sin^2{x}}$

6. Производные обратных тригонометрических функций:

${(arcsinx)}prime=1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arccosx)}prime=-1/{sqrt{1-x^2}}$

${(arctgx)}prime=1/{1+x^2}$

${(arcctgx)}prime=-1/{1+x^2}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

{(u+v)}prime={u}prime+{v}prime

2. Производная произведения двух функций:

{(uv)}prime={u}prime{v}+{v}prime{u}

3. Производная дроби:

${(u/v)}prime={{u}prime{v}-{v}prime{u}}/{v^2}$

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число "выносится" за знак производной):

{(Cf(x))}prime=C{(f(x))}prime

Чтобы правильно найти производную функции f(x) , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение f(x) , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)

4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции f(x) и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

$f(x)=log_{2}{x^4},~~x>0$

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

$log_{2}{x^4}=4log_{2}{delim{|}{x}{|}}$

Так как по условию x>0 , следовательно, {delim{|}{x}{|}}=x

Таким образом:

${(f(x))}prime={(4log_{2}{x})}prime=4/{xln{2}}$

Пример 2. Найти производную функции:

$f(x)= 1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{{root{4}{x}}}$

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

$f(x)= {1/{sqrt{x}}+{x^2}/{root{3}{x}}+x/{root{4}{x}}}= 1/{ x^{1/2}}+{x^2}/{ x^{1/3}}+x/{ x^{1/4}} = x^{-1/2}+ x^{2-{1/3}}+ x^{1-{1/4}}=x^{-1/2}+x^{5/3}+x^{3/4}$

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

${(f(x))}prime={(x^{-1/2})}prime+{(x^{5/3})}prime+{(x^{3/4})}prime=-{1/2}x^{-{1/2}-1}+{5/3}x^{{5/3}-1}+{3/4}x^{{3/4}-1}=-{1/2}x^{-{3/2}}+{5/3}x^{2/3}+{3/4}x^{-{1/4}}$

Пример 3. Найти производную функции

$y=x^2+1/{3x^2}-2/{5x^3}$

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

$y=x^2+{1/3}*x^{-2}-{2/5}*x^{-3}$

Теперь легко найти производную:

${y}prime={(x^2)}prime+{1/3}*{(x^{-2})}prime-{2/5}*{(x^{-3})}prime=2x+{1/3}*{(-2x^{-3})}-{2/5}*{({-3}x^{-4})}=2x-{2/3}x^{-3}+{6/5}x^{-4}$

Пример 4. Найти производную функции:

$f(x)={2^x}/{{cos}{x}+1}$

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции f(x) по формуле производной дроби:

$(u/v){prime}={u{prime}v-v{prime}u}/{v^2}$

В нашем случае:

$u=2^x;~~u{prime}=2^x{ln{2}}$

v={cos}{x}+1;~~v{prime}=-sin{x}

Отсюда:

${(f(x))}{prime}= {({2^x}/{{cos}{x}+1})}prime={{(2^x)}prime({cos}{x}+1)-{2^x}{({cos}{x}+1)}prime}/{{({cos}{x}+1)}^2}={{(2^x)}ln{2}({cos}{x}+1)-{2^x}({-sin{x}})}/{{({cos}{x}+1)}^2}$

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок "Производная сложной функции" смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти производную. Таблица производных

Инна | Отзывов (657)

Отзывов (657)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

марина

2014-02-25 в 19:05

спасибо большое)))

Ответить
Гарик

2014-03-02 в 16:58

y=2x^7+3×3

Ответить
Гарик

2014-03-02 в 17:03

y=-1/6x^3+1,5x^2+5x-3

Ответить
Виктория

2014-03-06 в 13:30

Добрый день Инна, помогите пожалуйста решить.
1) f(x)=-x^3+9x^2-24x+10
2) f(x)=6 3^√x^2 * (x+1)
3) f(x)=e^x + e^-x
4) f(x)=x^2 * e^-x
5) f(x)=x-2lnx
6) f(x)=3^√x^2 (10-x)
Пожалуйста помогите…

Ответить
- Инна
  
  2014-03-06 в 14:24
  
  //ege-ok.ru/2012/02/01/slozhnaya-funktsiya-proizvodnaya-slozhnoy-funktsii/
  решение: http://pastenow.ru/A1EE
  
  Ответить
  - Виктория
    
    2014-03-06 в 14:48
    
    спасибо вам огромное что ответили, но во 2-ом и 6-ом примере я имела в виду корень в степени три…просто не знала как написать.)
    
    Ответить
    - Инна
      
      2014-03-06 в 14:54
      
      Корень представить в виде степени, а затем по формуле степенной функции и производной сложной функции
      
      Ответить
      - Виктория
        
        2014-03-06 в 16:47
        
        спасибо…
        
        Ответить
Ольга

2014-03-09 в 12:32

Здравствуйте! Помогите пож решить след примеры.
1. Найти предел.
lim x стремится к 0.4 (5x^2-12x+4)/(6-15x)
2. Найти производную.
a) y=x^3*e^x^3; b) y=(x-4)/(x^2+4)
3. Исследовать функцию и построить график
y=2x^2-4x^4
4. Найти неопределенный интеграл.
(sinxdx)/(корень квадратный из (3-2cosx)

Ответить
- Инна
  
  2014-03-09 в 14:00
  
  1. Разложить числитель на множители, сократить дробь и найти предел.
  2. (x^3*e^x^3)’ — производная произведения.e^x^3 — сложная функция.
  (e^x^3)’=e^x^3*(3x^2)
  4. Ввести замену: cosx=t; sinxdx=dt
  
  Ответить
- Инна
  
  2014-03-09 в 14:09
  
  3. //ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika/
  
  Ответить
Ольга

2014-03-09 в 19:16

спасибо большое, за подсказки!Но т.к. я проходила это совсем давно, даже они мне не помогают( я ничего не понимаю и не могу вспомнить. Не могли бы вы мне с подробным решением помочь?

Ответить
- Инна
  
  2014-03-10 в 12:01
  
  http://pastenow.ru/A1F4
  
  Ответить
  - Светлана
    
    2014-10-25 в 13:26
    
    Помогите решить пожалуйста!
    Найти производную
    y=e×-cosx+x в 3 степени
    
    y= 2x-x в квадрате дробь x-2
    
    Ответить
Ольга

2014-03-10 в 18:02

спасибо огромное

Ответить