Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
02 Мар 2012
13 Задание (2022) (C2)

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14

В этой статье мы поговорим о том, как найти расстояние от точки до плоскости с помощью метода координат. О том как находить расстояние от точки до плоскости геометрическим способом, вы можете прочитать здесь.

Решим задачу: в единичном кубе A....D_1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB_1D_1.

На этот раз давайте решим ее с помощью метода координат.

Сначала немного теории.

Рассстояние rho от точки M_0(x_0,y_0,z_0) до плоскости ax+by+cz+d=0 вычисляется по такой формуле:

{rho}=delim{|}{ax_0+by_0+cz_0+d}{|}/{sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим наш куб в систему координат:

В нашей задаче роль точки M_0(x_0,y_0,z_0) играет точка A(0,1,0). То есть x_0=0,  y_0=1,  z_0=0

Теперь наша задача найти коэффициенты a,   b,  c и d в уравнении ax+by+cz+d=0 плоскости D_1B_1C.

Плоскость  D_1B_1C определяется тремя точками  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0). Если мы координаты точек подставим в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, то получим верное равенство.

Коэффициент d в уравнении плоскости мы можем принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты  a,   b и  c, подставим координаты точек  D_1 (0,0,1),   B_1(1,1,1)  и C (1,0,0) в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0. Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0*a+0*b+1*c+1=0} {1*a+1*b+1*c+1=0} {1*a+0*b+0*c+1=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{c+1=0} {a+b+c+1=0} {a+1=0}}}{ }

Отсюда: a=-1,  b=1,  c=-1

Подставим координаты точки A(0,1,0) и значения коэффициентов в формулу для расстояния:

{rho}=delim{|}{(-1)*0+1*1+(-1)0+1}{|}/{sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}} =2/{sqrt{3}}={2sqrt{3}}/3

Ответ: {2sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Расстояние от точки до плоскости. Метод координат. Задание 14
| Отзывов (21) | Метки:

Отзывов (21)

Следующие комментарии →
  1. Полли
    в 12:00

    Отличный сайт) Очень помогает!))
    У меня правда всегда возникают сложности с подсчетом нормали к плоскости. Допустим, если выходит вдруг , что D=0 для меня это тупик! Подскажите пожалуйста как их считать? Через что можно выражать? Вроде не только через D?
    Ответить
    • Инна
      в 12:25

      Если плоскость проходит через начало координат, то D=0 — это как если прямая y=kx+b проходит через начало координат, то b=0. Во всех остальных случаях можно принимать D=1
      Ответить
  2. Lekter
    в 14:04

    А что делать, если после решения системы, один коэффициент выражен через другой? Например, a=0, b=-c. Как тогда дальше решать?
    Ответить
    • Инна
      в 14:12

      Выразить и подставить в уравнение плоскости, а потом сократить
      Ответить
  3. Павел Власкин
    в 11:57

    Отличный сайт. Удачи Вам и успехов!
    Ответить
  4. Настя
    в 10:37

    У меня в ходе решения аналогичной задачи в системе получилось a+b=0;a+c=0. Как с этим быть?
    Ответить
    • Инна
      в 14:15

      Выражаем b=-a, c=-a, подставляем в уравнение функции и делим все на а.
      Ответить
  5. Лейсан
    в 15:12

    А если мы находим методом координат расстояние от точки до прямой в 6 сти угольной призме.мы достраиваем премую до любой плоскости или как?)
    Допустим от Точкиb до прямой c1d1????
    Ответить
    • Инна
      в 15:58

      Я всегда ищу расстояние от точки до прямой геометрическим методом.
      Ответить
  6. Лейсан
    в 15:14

    Как координатным способом найти расстояние в 6 угольной призме от точки в до прямойC1D1???до какой плоскости нужно достроить прямую????
    Ответить
  7. Геннадий
    в 17:28

    Все коэффициенты получаются по нулям.
    Что делать?
    Ответить
    • Инна
      в 07:13

      Проверьте еще раз. Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных, то нужно два коэффициента выразить через третий, подставить в уравнение и потом разделить на этот коэффициент.
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *