Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
05 Мар 2012
07 Задание (2022)

Решение задач из Задания В10, сводящихся к решению тригонометрических неравенств

В этой статье мы рассмотрим решение задач  из Задания В10, которые сводятся к решению тригонометрических неравенств.

1. Решим задачу №4317 из Открытого банка заданий.

Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону  {v}(t)= 2cos({pi}t) , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле  E={m{v}^2}/2, где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 1.9*10^{-1} Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

По условию задачи кинетическая энергия груза должна быть  не менее 1.9*10^{-1} Дж, значит, нам надо решить неравенство  E>=1.9*10^{-1} при условии 0<t<=1

Подставим в выражении для E все параметры из условия задачи. Получим неравенство:

{0,38*({ 2cos{{pi}t}})}^2/2>=1.9*10^{-1} 

cos^2({{pi}t})>=1/4 

По условию 0<t<=1 , следовательно, 0<{pi}t<={pi} .

Таким образом, нам нужно найти решения совокупности  неравенств:

delim{[}{matrix{2}{1}{{cos{pi}t<=-1/2} {cos{pi}t>=1/2} }}{ } ,

  удовлетворяющие условию 0<{pi}t<={pi} .

Изобразим на тригонометрическом круге решения нашей совокупности:

 

Таким образом,

delim{[}{matrix{2}{1}{{0<={pi}t<={pi}/3} {{2{pi}}/3<={pi}t<={pi}} }}{ } 

delim{[}{matrix{2}{1}{{0<=t<=1/3} {2/3<=t<=1} }}{ } 

Длина промежутка равна 1/3+1/3=2/3{approx}0,67

Ответ: 0,67

2. Решим задачу №27998

Мяч бросили под углом  alpha к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле t={2v_0sin{alpha}}/g. При каком наименьшем значении угла alpha (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью v_0=30  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с.

По условию задачи время полeта должно быть не меньше 3 секунд, значит, нам надо решить неравенство t>=3 . Получим неравенство:

{2v_0sin{alpha}}/g>=3 .

Подставим в эту формулу известные параметры из условия задачи:

{2*30sin{alpha}}/10>=3  

sin{alpha}>=1/2  

По смыслу задачи угол {alpha}  может принимать значения из промежутка [0, {pi}/2 ]

На тригонометрическом круге решение нашего неравенства выглядит так:

Очевидно, что наименьшее значение угла, при котором время полeта будет не меньше 3 секунд равно 30^{circ}

Ответ: 30^{circ}

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение задач из Задания В10, сводящихся к решению тригонометрических неравенств
| Отзывов (19) | Метки:

Отзывов (19)

← Предыдущие комментарии
  1. Виктория
    в 17:16

    Кто-нибудь обьяснит в конце концов,почему мы их складываем??)..
    Ответить
    • Инна
      в 17:19

      Промежуток времени, который нужно найти по условию задачи состоит из двух промежутков, поэтому складываем.
      Ответить
      • Виктория
        в 17:25

        К сожалению,мне плохо даются такие задачи))Да…состоит из двух, неравенств ведь получилось два).А почему мы берем именно 1/3?)..
        Ответить
        • Инна
          в 17:27

          1/3 — длина промежутка
          Ответить
          • Виктория
            в 17:40

            Ну да,это понятно…Непонятно то,как вы дошли до того,что длина промежутка равна именно 1/3..А можно было сложить два полученных неравенства,откуда получится,что t принадлежит от [2/3,4/3].И..отняв от второго первое,получим.что длина равна 2/3?
            Ответить
  2. Влад
    в 11:48

    Почему мы возвели в квадрат 2cosПt и в итоге Пt получилось без квадрата?
    Ответить
    • Инна
      в 12:14

      Потому что в квадрат возводим только саму функцию, аргумент на меняется.
      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *