Во многих стереометрических задачах, связанных с нахождением расстояния от точки до плоскости или расстояния между скрещивающимися прямыми, или угла между плоскостями, требуется найти уравнение плоскости. В этой статье я расскажу, как найти уравнение плоскости, если известны координаты трех точек, через которые она проходит.
Уравнение плоскости имеет вид: 
, где 
, 
, 
и 
- числовые коэффициенты.
Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки 
, 
и 
Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.
Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на . Получим:
Мы можем переписать это уравнение в виде: 
Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то принимаем d=0.
Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в уравнение плоскости .
Получим систему уравнений:
Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
Решим задачу.
В правильной четырехугольной призме 
со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре 
взята точка 
так, что 
равно 8. на ребре 
взята точка 
так, что 
равно 8. Написать уравнение плоскости 
:
Поскольку для нахождения уравнения плоскости нам понадобятся координаты точек, я сразу помещаю призму в систему координат:
Запишем координаты точек:
Подставим их в систему уравнений:
Отсюда:
Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:
Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на 
. Получим:
Ответ: уравнение плоскости
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ух, до дрожи по коже прочитала статью. Все дело в школьных воспоминаниях.
Мне нравилась стреометрия в 10-11 классах. Есть что-то волшебное в этом разделе математики)))
Неужели подобные задачи сейчас входят в школьную программу?
А что, если после решения системы один коэффициент пропадает? Например, во всех трёх уравнениях системы коэффициент С умножается на 0, получается, что он пропадает. Как тогда его найти?
Никак. Если плокость параллельна оси OZ, то с=0
Может перпендикулярна? у меня то же самое. Из системы получилось так , что A B C равны нулю. Значит и косинус получится равный нулю
тут лучше способ
Мне мой больше нравится 🙂
Шикарный сайт, шикарное объяснение, как же повезло, что я вас нашел))
Спасибо, Инна! Скажите, а как выглядит уравнение плоскости, которая совпадает с плоскостью Оху. Пыталась С2 из егэ 2012г решить вашим способом, уравнение одной плоскости составила, а вот другой АВСД, которая совпадает с Оху не разберусь?!
Вектор нормали к плоскости OXY — параллелен OZ, то есть его координаты, например, (0,0,1). d=0, так как плоскость проходит через начало координат. Тогда уравнение плоскости z=0
Спасибо!!! Вспомнила! В школьной практике нет подобных задач, даже понятие нормали,поэтому спасибо!!!
Здравствуйте. у меня такой вопрос -х-у+z+1=0 координаты вектора нормали будет такой {-1;-1;1} ? или единица d=1 нужна еще? подскажите пожалуйста
координаты вектора нормали (-1;-1;1) — значение d появляется, если известна конкретная точка, через которую проходит плоскость.