Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-03-28

Главная » СТАТЬИ » 13 Задание (2022) (C2) » Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

28 Мар 2012

13 Задание (2022) (C2)

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0

2. Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты a;b;c - координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

vec{n}(a;b;c )

угол между прямой и плоскостью

3. Косинус угла между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

4. Любой ненулевой вектор $vec{m}(a_1;b_1;c _1)$ , лежащий на прямой , или параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла beta между прямой и плоскостью alpha равен косинусу угла gamma между нормалью ( vec{n} ) к плоскости и направляющим вектором прямой ( vec{m} ), поскольку ${beta}+{gamma}=90^{circ}$

sin{beta}=cos{gamma}

угол между прямой и плоскостью То есть синус угла beta между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты $vec{m}(a_1;b_1;c _1)$ и плоскостью, заданной уравнением ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле:

$sin{beta}=cos{gamma}=delim{|}{{{a_1}{a}+{b_1}{b}+{c_1}{c}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}} }}{|}$

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

угол между прямой и плоскостью

Введем систему координат:

угол между прямой и плоскостью

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости

B(0;0;0)

C(0;1;0) (все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2)

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, d=0 ,

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=0} {{1/2}a+{1/2}b+{sqrt{2}/2}c=0} {x-8y+9z=0}}}{ }

Отсюда b=0 , {1/2}a=-{sqrt{2}/2}c .

Уравнение плоскости имеет вид:

-{sqrt{2}}c x+cz=0 . Разделим обе части равенства на с, получим:

-{sqrt{2}} x+z=0 .

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

vec{n}({-sqrt{2}};0;1 )

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), vec{BD}(1;1;0)

$sin{beta}=delim{|}{{-{sqrt{2}}*{1}}/{sqrt{{(-{sqrt{2})}^2+1}sqrt{1+1}} }{|}=1/{sqrt{3}}={sqrt{3}}/3$

Ответ: {sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

Инна | Отзывов (52) | Метки: решение задания С2

Отзывов (52)

Следующие комментарии →

любовь

2012-03-29 в 09:04

Учебники геометрии авторов Л.С.Атанасян и Погорелова «отдыхают»по сравнению с Вашими объяснениями,разбором задач.Жизнено важная тема»Вычисление углов между прямыми и плоскостями у Атанасяна 10-11 класс уместилась в п.48 на пол-странице без всяких примеров.Не зря ученики говорят «учебники составлялись для кого угодно,но только не для учеников».Спасибо,Инна.Мои ученики теперь с удовольствием решают геометрические задачи из части «С»,благодаря Вашим урокам.

Ответить
- Инна
  
  2012-03-29 в 09:19
  
  Спасибо, Любовь! Я тут недавно в одно действие с помощью метода координат решила задачу, которую геометрически замучилась решать. Скоро опубликую.
  
  Ответить
  - Александр
    
    2013-05-11 в 21:53
    
    у Вас Сложное становится Простым, спасибо за науку. есть вопрос-задача, непростой, но нужный реально, может, решите? как навести антенну на произвольный геостационарный спутник? известны широта и долгота приемника спутникового телевидения, его высота над уровнем моря (т.е.полностью геокоординаты) . известен меридиан, на котором висит некий телевещательный спутник. нужно найти угол места и угол азимута , под которыми этот спутник виден с точки приема. т.е.куда наводить антенну?
    
    Ответить
- Ученик, 11 класс
  
  2013-05-28 в 16:32
  
  Атанасян 1992-(20006) пункт 52 и 53* !!! Все прекрасно объяснено.
  
  Ответить
Римма

2012-05-07 в 09:25

наконец-то научилась решать с2 методом координат. спасибо Вам огромное!

Ответить
оля

2012-05-18 в 17:58

я не умею решать метод координат …. научите

Ответить
- Инна
  
  2012-05-19 в 11:01
  
  Я улучшила картинку — посмотри, может так понятнее.
  
  Ответить
оля

2012-05-18 в 18:02

почему B(0;0;0)

C(0;1;0)

S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2) объясните

Ответить
- Артем
  
  2012-06-05 в 16:14
  
  В данном случаи. Б-это начало координат, Точка С отдалилась от точки Б : по х на 0 , по y на 1 (т.к сторона BC =1), по Z на 0 (не поднялась наверх — значит 0). Точка S находится на середине AB и BC (стороны равны 1, а середина стороны 1/2) Корень из 2 /2 нашли с помощью треугольника , с катетами 1/2, а искомое расстояние гипотенуза.
  
  Ответить
Анна

2012-05-24 в 04:52

Здравствуйте, Инна! Скажите, что делать, если плоскость АВС принадлежит плоскости ОХ ОУ, как найти уравнение этой плоскости, если координаты точек принадлежащих плоскости равны: A(12корней из3;12;0)В(0;-24;0)С(12корней из3;12;0)?
Часто возникают проблемы в подобных задачах при нахождении уравнения плоскости,очень надеюсь на вашу помощь!
Заранее спасибо!

Ответить
- Инна
  
  2012-05-24 в 05:20
  
  В этом случае удобно находить не по трем точкам, а через координаты вектора нормали. Если плоскость проходит через ОХ ОУ, то вектор нормали имеет координаты (0;0;1), тогда уравнение плоскости z=0. — это как в координатах на плоскости: прямая ОУ имеет уравнение х=0.
  
  Ответить
Анна

2012-05-26 в 08:01

Инна,спасибо за предыдущий ответ. Скажите еще, по какой формуле можно найти расстояние от точки и прямой?

Ответить
- Инна
  
  2012-05-26 в 11:35
  
  Я такой формулы не знаю.
  
  Ответить
El

2012-06-12 в 18:59

Добрый вечер. Хотел бы спросить, какое уравнение плоскости соответствует основанию пирамиды, если все точки основания этой пирамиды лежат на нулевой аппликате, и она проходит через начало координат? Дело в том, что при составлении уравнения все уничтожается a = b, b = 0, и c = 0, и получается точка или вектор нормали с координатами 0, 0, 0.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-12 в 19:08
  
  Если я вас правильно поняла, все точки основания лежат в плоскости ХОУ, то есть плоскости, содержащей оси ОХ и ОУ. В этом случае вектор нормали лежит на оси ОZ и тогда можно взять его координаты (0;0;1)
  
  Ответить