Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-03-28

Главная » СТАТЬИ » 13 Задание (2022) (C2) » Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

28 Мар 2012

13 Задание (2022) (C2)

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

В этой статье я расскажу, как находить угол между прямой и плоскостью c помощью методом координат.

Для этого нам, как обычно, понадобятся некоторые теоретические сведения.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0

2. Важно! В этом уравнении плоскости коэффициенты a;b;c - координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

vec{n}(a;b;c )

угол между прямой и плоскостью

3. Косинус угла между векторами $vec{a}(x_1;y_1;z_1)$ и $vec{b}(x_2;y_2;z_2)$ вычисляется по формуле:

$cos{beta}={{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+{z_1}{z_2}}/{sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}{sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}} }$

4. Любой ненулевой вектор $vec{m}(a_1;b_1;c _1)$ , лежащий на прямой , или параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла beta между прямой и плоскостью alpha равен косинусу угла gamma между нормалью ( vec{n} ) к плоскости и направляющим вектором прямой ( vec{m} ), поскольку ${beta}+{gamma}=90^{circ}$

sin{beta}=cos{gamma}

угол между прямой и плоскостью То есть синус угла beta между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты $vec{m}(a_1;b_1;c _1)$ и плоскостью, заданной уравнением ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле:

$sin{beta}=cos{gamma}=delim{|}{{{a_1}{a}+{b_1}{b}+{c_1}{c}}/{sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2}{sqrt{{a}^2+{b}^2+{c}^2}} }}{|}$

Решим задачу:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

угол между прямой и плоскостью

Введем систему координат:

угол между прямой и плоскостью

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости

B(0;0;0)

C(0;1;0) (все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

S({1/2};{1/2};{sqrt{2}}/2)

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, d=0 ,

Получим систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=0} {{1/2}a+{1/2}b+{sqrt{2}/2}c=0} {x-8y+9z=0}}}{ }

Отсюда b=0 , {1/2}a=-{sqrt{2}/2}c .

Уравнение плоскости имеет вид:

-{sqrt{2}}c x+cz=0 . Разделим обе части равенства на с, получим:

-{sqrt{2}} x+z=0 .

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

vec{n}({-sqrt{2}};0;1 )

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0), vec{BD}(1;1;0)

$sin{beta}=delim{|}{{-{sqrt{2}}*{1}}/{sqrt{{(-{sqrt{2})}^2+1}sqrt{1+1}} }{|}=1/{sqrt{3}}={sqrt{3}}/3$

Ответ: {sqrt{3}}/3

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Угол между прямой и плоскостью. Метод координат. Задание 14

Инна | Отзывов (52) | Метки: решение задания С2

Отзывов (52)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

El

2012-06-12 в 20:22

Благодарю за оперативной ответ Инна. Попробовал решить по Вашему методу. Вот условие задачи: В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6 (то есть в основании лежит квадрат), найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1 соответственно. Ну, поскольку sin(A)=cos(B) из следствия вашей формулы, то отношение arcsin к arccos и будет тангенс угла. У меня получилось так: Нахожу уравнение плоскости ADD1, это прямоугольная боковая грань параллелепипеда AA1D1D, координаты точки A(0, 6, 0), A1(0, 6, 4) и D(6, 6, 0),так как плоскость не проходит через начало координат имеем следующую систему:
6b + 1 = 0
6a + 6b + 1 = 0
6a + 4c + 1 = 0
Выражаем все данные:
b = -(1/6);
a = 0;
c = -(1/4);
Подставляем в общий вид уравнения плоскости со всеми преобразованиями:
4x + 6c = 0
Вектор нормали получается имеет координаты { 4, 0, 6 };
Теперь находим вектор прямой EF, так как точки являются серединами отрезков, то достаточно найти полусумму двух векторов, и затем вычесть из координата конца вектора, координаты начала получившихся точек. Получается =>
Точки: E(0, 3, 0), F(3, 0, 4) => Вектор => { 3, -3, 4 };
Подставляю в формулу нахождения угла между прямой и плоскостью:
sin(A) = cos(B) = | ( 12 + 24 ) / sqrt( 34 * 52 ) | = | 18 / sqrt( 221 ) |
sqrt — арифметический квадратный корень.
На мой взгляд получается какая-то ерунда. То есть tg(C) = acrsin(18/sqrt(221)) / acrccos(18/sqrt(221)). Быть может я допустил ошибку в рассуждениях? Пробовал решить эту задачу геометрическим способом. Но проекцию построить невозможно, так как точка пересечения этой прямой с заданной плоскостью лежит за пределами этого параллелепипеда, таким образом, что приходиться дорисовывать плоскость, продолжая её за пределы листа.

Ответить
Инна

2012-06-13 в 07:12

1. tga=sina/cosa — ни в коем случае не отношение обратных функций
2. В основании ABCD лежит прямоугольник
3. Если ось ОХ направить вдоль ребра АВ, то вектор нормали будет иметь координаты (6;0;0) 4. Плоскость ВВ1С1 параллельна плоскости AA1D1 и можно найти угол между прямой и плоскостью ВВ1С1. В этом случае ЕВ — перпендикуляр, а ВF — проекция наклонной.

Ответить
El

2012-06-13 в 14:28

Благодарю за пояснительный ответ, Инна. Да, прощу прощения ошибся в определении тангенса. Так или иначе я не понимаю допущенную собою ошибку. Я прилагаю Вам два файла — картинки, первый способ — решение геометрическим способом, второй — векторным, с помощью введения ортогональной системы координат. В первом способе ответ получился более удовлетворяющим меня. Во втором способе, как можете видеть Вы, вновь имеем не извлекаемый корень. И да, я вчера находясь в весьма изнуренном состоянии допустил некоторую ошибку при выведении уравнения плоскости. Это я учел в своем новом рисунке. Прошу Вас, взглянуть на них, что может быть не так?
1) Геометрический способ:
http://img39.imageshack.us/img39/6589/geom.jpg
2) Векторный способ:
http://img823.imageshack.us/img823/2096/geomvec.jpg
Какая же проблема в поступлении в университет. Ранее в наших школах ЕГЭ вообще не практиковалось. Векторы были выброшены из раздела геометрии нашим преподавателем, который пояснил такое действие тривиально просто: это вам не нужно. Очень жаль, что Вы находитесь так далеко от меня. Я бы с огромным удовольствием посещал Ваши репетиторские занятия. Огромное Вам уважение.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-13 в 15:02
  
  К сожалению, у меня нет возможности проверить ваше решение. Прочитайте, пожалуйста еще раз мой предыдущий ответ — он содержит правильное решение.
  
  Ответить
- Инна
  
  2012-06-13 в 15:08
  
  Правильный ответ (3√5)/10
  
  Ответить
El

2012-06-13 в 15:09

Спасибо, а есть четкое определение нормали вектора? Просто я не совсем понимаю, это единичный радиус вектор, исходящий из начало координат и перпендикулярный к той или иной плоскости для которой мы его ищем? Тут вся проблема в определении. Я не совсем понимаю того, что собственно делаю.

Ответить
- Инна
  
  2012-06-13 в 15:17
  
  Это вектор, перпендикулярный плоскости. Его длина не имеет значения. Координаты вектора не зависят от координат его начала — он не обязательно выходит из начала координат. Это может быть направляющий вектор любой прямой, перпендикулярной плоскости.
  
  Ответить
  - El
    
    2012-06-13 в 15:23
    
    То есть в плоскости мы можем провести бесконечное множество таких нормаль-векторов?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2012-06-13 в 15:57
      
      К плоскости. Да.
      
      Ответить
      - El
        
        2012-06-13 в 16:03
        
        Спасибо! Теперь все встает на свои места!
        
        Ответить
Наталья

2012-12-19 в 05:44

Здравствуйте! Не могли бы вы помочь мне с решением? Решила вашим методом, вроде бы все поняла, но ответ не совпадает… n у меня имеет координаты (0,-1/8, -1/8). Мой ответ-арксинус 4 корней из 2 деленный на 17. Помогите, пожалуйста. В прямоугольном параллелепипеде MNPQM1N1P1Q1 ребра MN=15, MQ=M1M =8.Найдите угол между QP1 и плоскостью QPN1

Ответить
- Инна
  
  2012-12-19 в 12:06
  
  У меня получился такой же ответ.
  
  Ответить
  - Наталья
    
    2012-12-19 в 18:12
    
    Спасибо вам громаднейшее, видимо опечатка была в ответе. У меня возникли проблемы с решением аналогичной задачи, не могли бы посмотреть? В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B121D1 ребра AB=4, АА1=AD =3. Найти угол между прямой B1D1 и плоскостью AD1C1. Проблема в нахождении вектора n, странная система получается… d здесь = 1? мой ответ получается совсем простым- арксинус 4/25, в учебнике ответ — 3 корня из 2/ деленное на 10. Что делать, если n получается равным нулю , я имею в виду координаты? Извините за вторичное беспокойство…
    
    Ответить
    - Инна
      
      2012-12-20 в 11:33
      
      Координаты вектора нормали к плоскости AD1C1 (1;0:-1)
      
      Ответить
Наталья

2012-12-20 в 14:01

Спасибо большое, что ответили, но мой ответ с вашим не совпадет, все коэффициенты уничтожаются… Спасибо еще раз за подсказку, перерешаю на свежую голову!

Ответить
Алексей

2013-01-18 в 15:43

Все понятно в вашем решении для меня, но я не понял как вы нашли синус, расскажите пожалуйста подробнее?

Ответить