Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2013-01-09

Главная » СТАТЬИ » ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ » Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

09 Янв 2013

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции y=ax^2+bx+c , нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение ax^2+bx+c=0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение $x^2+{b/a}x+{c/a}=0$ . Для него справедливы соотношения:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b/a} {x_1*x_2=c/a} }}{ }$

И эти же соотношения справедливы для уравнения ax^2+bx+c=0

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента - если ветви параболы направлены вверх, то a>0 , а если вниз, то a<0 .

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c - это абсциссы точек пересечения графика функции y=ax^2+bx+c с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то x_1+x_2=-b/a>0 .

Если оба корня отрицательны, то x_1+x_2=-b/a<0 .

Если корень с большим модулем положителен, то x_1+x_2=-b/a>0 .

Если корень с большим модулем отрицателен, то x_1+x_2=-b/a<0 .

Если корни имеют одинаковые знаки, то x_1*x_2=c/a>0 .

Если корни имеют разные знаки, то x_1*x_2=c/a<0 .

Во всех случаях, определив знак коэффициента по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов и

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c , если график функции y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a<0 .

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: x_1*x_2=c/a>0 . Так как a<0 , следовательно, c<0 .

3. Оба корня отрицательны, следовательно, их сумма отрицательна: x_1+x_2=-b/a<0 . Так как a<0 , следовательно, b<0 .

Ответ: a<0 , b<0 , c<0 .

2. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c , если график функции y=ax^2+bx+c имеет вид:

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a>0 .

2. Корни имеют разные знаки, следовательно, их произведение отрицательно: x_1*x_2=c/a<0 . Так как a>0 , следовательно, c<0 .

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно, сумма корней положительна: x_1+x_2=-b/a>0 . Так как a>0 , следовательно, b<0 .

Ответ: a>0 , b<0 , c<0 .

Замечание: - ордината точки пересечения параболы с осью , поэтому знак можно определить сразу.

Для вас другие записи этой рубрики:

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Инна | Отзывов (39)

Отзывов (39)

Следующие комментарии →

Валерий Петрович

2013-01-11 в 16:29

Приведённый выше материал достоин внимания школьников, да и не только их. Желательно расширить его хотя бы немного усложнив, не оглядываясь на уровень сложности конкретной рубрики ЕГЭ. От этого будет большая польза — ведь у всех выпускников впереди и группа «С», а у некоторых и дополнительный экзамен при поступлении. С Новым годом! И успехов всем заинтересованным в математике.

Ответить
- Инна
  
  2013-01-11 в 20:11
  
  Да, конечно. Но это будет уже другая статья.
  
  Ответить
Вера

2013-01-19 в 17:45

Почему оба корня отрицательны?

Ответить
- Инна
  
  2013-01-19 в 17:52
  
  Спасибо, исправила
  
  Ответить
Илья

2013-02-03 в 11:49

Большое спасибо! Задание выставить знаки коэффициентов реально поставило в тупик, а оказалось, что теоремой Виета все так просто решается, хотя сам учил эту теорему.

Ответить
Оксана

2013-03-05 в 14:30

Здравствуйте. Ну вот по графику зная знаки корней, определили знаки коэффициентов. А вот если уравнение не имеет корней. Как быть? Ну знак коэффициента А я найду, а вот как С найти? У нас на пробном ГИА было такое задание…

Ответить
- Инна
  
  2013-03-05 в 14:53
  
  Координаты вершины параболы: x0=-b/2a — зная знак а, определяем знак b. Если ветви направлены вверх и вся парабола выше оси ОХ, то с больше нуля — в противном случае были бы корни. Аналогично, если парабола ниже оси ОХ, то с меньше нуля.
  
  Ответить
  - оля
    
    2013-04-09 в 10:11
    
    геометрический смысл коэф-та с-ордината точки пересечения графика с осью ординат
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-04-09 в 10:42
      
      Да, конечно!
      
      Ответить
Петя

2013-04-24 в 14:18

А как найти значение старшего коэффициента по графику?

Ответить
- Инна
  
  2013-04-24 в 14:46
  
  Нужны координаты точек
  
  Ответить
  - Петя
    
    2013-04-24 в 16:30
    
    А меня в задании сказано найти значение a по графику функции y=ax^2+bx+c
    И дальше парабола
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-04-24 в 16:39
      
      У параболы есть конкретные точки
      
      Ответить
      - Charlie
        
        2015-05-06 в 17:29
        
        Помогите пожалуйста, как найти значение коэффициента, если известны точки параболы А(1;-5) и В(-3;11)
        
        Ответить
      - Инна
        
        2015-05-08 в 09:23
        
        Чтобы найти коэффициенты параболы, нужно знать координаты трех точек, или двух, если одна является вершиной.
        
        Ответить
Alyona

2013-04-29 в 11:02

Буду благодарна, если поможете решить следующее задание.
f(x)пересекает g(x)=(3,4)
f(x)=x^2+mx+n. m=?
Я подставила значение х и у в формулу соответсвенно. Получила следующее уравнение.
4=3^2+3m+n.Преобразовала 3m+n=-5. Как решать такое уравнение?
Заранее спасибо за ответ.

Ответить
- Инна
  
  2013-04-30 в 15:41
  
  Есть еще какие-нибудь условия?
  
  Ответить
  - Alyona
    
    2013-05-01 в 10:37
    
    Дан график, где g(x)- это прямая (при х=3, у=4, т.е. формула должна быть g(x)=x+1), f(x)= x^2+mx+n — парабола, причем она не пересекает ось ОХ. Варианты ответов -4, — 14\3, -11\2, -23\4, -6.
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-05-01 в 10:47
      
      Мне нужен оригинальный текст задачи: прямая не определяется одной точкой
      
      Ответить
      - Alyona
        
        2013-05-06 в 14:24
        
        Спасибо. Есть такой интересный пример. Поможете?
        f(x)=2x^2+1
        g(x)=x\2
        fog^-1(2)=?
        
        Ответить
Ksenia

2013-10-06 в 18:51

Спасибо большое за подробные объяснения! Только объясните,пожалуйста, как определять знак b, если а<0, один корень отрицательный, а другой-положительный?

Ответить
- Инна
  
  2013-10-07 в 07:31
  
  При сложении чисел с разными знаками ставим знак большего модуля. Если корень с большим модулем положителен, то b меньше нуля. И наоборот.
  
  Ответить