Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2013-02-17

Главная » СТАТЬИ » 13 Задание (2022) (C2) » Как найти расстояние от точки до прямой с помощью метода координат

17 Фев 2013

13 Задание (2022) (C2)

Как найти расстояние от точки до прямой с помощью метода координат

Долгое время я предпочитала решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой геометрическим способом, поскольку использование метода координат мне казалось очень нерациональным. Но наконец-то я поняла, как изящно, без построения перпендикулярной плоскости решать эту задачу.

Поясню общий ход решения на примере вспомогательной задачи, а потом решим реальную задачу из ЕГЭ по математике.

Вспомогательная задача:

В произвольном треугольнике ABC , заданном координатами своих вершин, найти расстояние от точки до прямой, содержащей сторону .

Расстояние от точки до стороны - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, содержащую сторону , то есть высоты .

Пусть вершины треугольника имеют координаты:

A(x_a;y_a;z_a)

B(x_b;y_b;z_b)

C(x_c;y_c;z_c)

1. Найдем косинус угла между прямыми, содержащими стороны и . Напомню, что углом между двумя пересекающимися прямыми называется меньший из двух углов, образованных этими прямыми.

Для этого найдем координаты векторов vec{AB} и vec{AC} по координатам их концов. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

$vec{AB}(x_b-x_a; y_b-y_a; z_b-z_a)$

$vec{AC}(x_c-x_a; y_c-y_a; z_c-z_a)$

Зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами.

Косинус угла alpha между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению длин векторов.

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами прямых.

Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

$(vec{AB}vec{AC})=(x_b-x_a)(x_c-x_a)+(y_b-y_a)(y_c-y_a)+(z_b-z_a)(z_c-z_a)$

Длина вектора vec{AB} :

$delim{|}{vec{AB}}{|}=sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}$

Длина вектора vec{AC} :

$delim{|}{vec{AC}}{|}=sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2+(z_c-z_a)^2}$

cos{alpha}={delim{|}{(vec{AB}vec{AC})}{|}}/{delim{|}{vec{AB}}{|}delim{|}{vec{AC}}{|}}

2. Зная cos{alpha} , найдем sin{alpha} :

$sin{alpha}=sqrt{1-cos^2{alpha}}$

3. Теперь мы можем найти длину из прямоугольного треугольника ABD :

BD=ABsin{alpha}=delim{|}{vec{AB}}{|}sin{alpha}

Если треугольник ABC имеет такой вид:

то cos{alpha}<0 , но это ничего не меняет в наших планах. В этом случае мы будем искать длину из треугольника ABD . В этом случае угол BAD и будет углом между прямыми и

Решим задачу:

Основанием прямого параллелепипеда является ромб , сторона которого равна , а угол равен $60^{circ}$ . Найдите расстояние от точки до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

План наших действий:

1. Введем систему координат.

2. Найдем координаты направляющих векторов прямых ${AD_1}$ и ${D_1C_1}$ .

3. Найдем косинус угла между прямыми ${AD_1}$ и ${D_1C_1}$ .

4. Найдем синус угла между прямыми ${AD_1}$ и ${D_1C_1}$ .

5. Найдем расстояние от точки до прямой C_1D_1 .

Вспомним свойства диагоналей ромба:

Диагонали ромба

взаимно перпендикулярны,
точкой пересечения делятся пополам
являются биссектрисами углов ромба.

Поместим начало система координат в точку пересечения диагоналей ромба, а оси направим вдоль диагоналей:

Найдем длины отрезков , , :

Рассмотрим треугольник COD :

OD={CD}/2=2sqrt{3} - как катет, лежащий против угла $30^{circ}$

$OC=CDcos{30^{circ}}={4sqrt{3}}*{{sqrt{3}}/2}=6$

1. Найдем координаты точек A, D_1, C_1

A(0;-6;0)

$D_1(2sqrt{3};0;8)$

C_1(0;6;8)

2. Найдем координаты векторов $vec{AD_1}$ и $vec{D_1C_1}$ :

$vec{AD_1}(2sqrt{3};6;8)$ ;

$vec{D_1C_1}(-2sqrt{3};6;0)$

3. Найдем длины векторов $vec{AD_1}$ и $vec{D_1C_1}$ :

$delim{|}{vec{AD_1}}{|}=sqrt{(2sqrt{3})^2+6^2+8^2}=$ sqrt{12+36+64}=sqrt{112}=4sqrt{7}

$delim{|}{vec{D_1C_1}}{|}=sqrt{(-2sqrt{3})^2+6^2}=$ sqrt{12+36}=sqrt{48}=4sqrt{3}

4. Найдем модуль косинуса угла ${AD_1C_1}$ . Нас интерсует абсолютное значение косинуса, поэтому направление направляющих векторов прямых ${AD_1}$ и ${D_1C_1}$ не имеет значения. Найдем модуль косинуса угла между векторами $vec{AD_1}$ и $vec{D_1C_1}$ :

$delim{|}{cos{AD_1C_1}}{|}=delim{|}{{{(vec{AD_1}vec{D_1C_1})}}/{delim{|}{vec{AD_1}}{|}*delim{|}{vec{D_1C_1}}{|}}}{|}=$ delim{|}{{(2sqrt{3})*(-2sqrt{3})+6*6}/{4sqrt{7}*4sqrt{3}}}{|}=24/{16sqrt{21}}=3/{2sqrt{21}}

5. Найдем синус угла ${AD_1C_1}$ :

$sin{AD_1C_1}=sqrt{1-(3/{2sqrt{21}})^2}=sqrt{75/84}=5/{2sqrt{7}}$

6. Pасстояние от точки до прямой C_1D_1 равно $delim{|}{vec{AD_1}}{|}*sin{AD_1C_1}=4sqrt{7}*{5/{2sqrt{7}}}=10$

Ответ: 10

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Как найти расстояние от точки до прямой с помощью метода координат

Инна | Отзывов (15)

Отзывов (15)

Следующие комментарии →

Пётр

2013-02-19 в 05:02

Простой и изящный способ для решения подобного типа задач, не требующий выполнения полного чертежа, который иногда сделать довольно тяжело. Спасибо!

Ответить
- Инна
  
  2013-02-19 в 06:39
  
  Да, Петр, мне самой нравится )
  
  Ответить
Алла

2013-02-19 в 14:53

Спасибо! Действительно изящно и просто!

Ответить
ella

2013-02-19 в 20:19

А если не координатным способом, то длину какого отрезка можно принять за расстояние от точки А до Д1С1? Может это АД1. Т.к. С1Д1 перпендикулярен плоскости АА1Д1Д, то С1Д1 перпендикулярен и АД1,т.к. АД1 лежит в этой плоскости.Где я ошибаюсь? Помогите разобраться, пожалуйста!

Ответить
- Инна
  
  2013-02-24 в 07:57
  
  С1Д1 не перпендикулярен плоскости АА1Д1Д, так как в основании ромб, а не прямоугольник. Нужно из точки А провести перпендикуляр к СД, из основания перпендикуляра провести прямую параллельную ДД1 до пересечения с прямой С1Д1 — это продолжение отрезка С1Д1. расстояние от точки А до полученной и точки и будет искомое расстояние.
  
  Ответить
Александр

2013-12-16 в 15:13

Уважаемая Инна Владимировна. Занимаясь математикой со своим внуком,иногда пользуюсь Вашими материалами. Я — инженер, а не педагог, поэтому приходится немного учиться у признанных спецов . В Ваши, обычно безупречные выкладки, вкралась досадная ошибка. Рассматривая вспомогательную задачу, Вы ищите косинус угла между векторами AB и AC. А в формуле косинуса угла вдруг появился вектор BC.Посмотрите внимательно на формулу — это косинус угла ABC а не BAC. С уважением А.Базин

Ответить
- Инна
  
  2013-12-16 в 15:39
  
  Александр, большое спасибо. Исправила.
  
  Ответить
Анастасия

2014-03-25 в 15:07

Здравствуйте, а если фигура — пирамида, в ней будет действовать данный алгоритм?
Заранее спасибо за ответ!

Ответить
- Инна
  
  2014-03-26 в 10:24
  
  Действует, только координаты найти труднее
  
  Ответить
Елена

2015-10-21 в 11:30

Спасибо огромное!!! Хоть такие задачи редкость на ЕГЭ, пролистывать их просто так не хочется. Действительно быстро и красиво!

Ответить
Анастасия

2016-10-16 в 11:19

Инна, подскажите пжл как найти расстояние от точки до прямой?

Ответить
- Анастасия
  
  2016-10-16 в 11:22
  
  в правильной шестиугольной призме*
  
  Ответить
- Инна
  
  2016-10-16 в 15:07
  
  Нужно соединить точку с концами отрезка, содержащего прямую. Получится треугольник. В нем найти высоту, проведенную из этой точки.
  
  Ответить
- Инна
  
  2016-10-16 в 15:08
  
  Это если без метода координат. А если с помощью методу координат, то как в статье.
  
  Ответить